1 . 若存在使得对任意恒成立，则称为函数在上的最大值点，记函数在上的所有最大值点所构成的集合为

(1)若，求集合；
(2)若，求集合；
(3)设为大于1的常数，若，证明，若集合中有且仅有两个元素，则所有满足条件的从小到大排列构成一个等差数列．

2 . 对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”．
(1)判断函数是否存在“函数”，请说明理由；
(2)若非常值函数是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得；
(3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值．

3 . 随着人工智能的飞速进展，临港某车辆装配车间每2小时装配完成一辆车.按照计划，该车间今天生产8小时.从当天开始生产的时刻起，所经过的时间x（单位：小时）与装配完成的车辆数（单位：辆），表示为函数.
(1)用分段表示法写出函数的解析式；
(2)数学上，常用表示不大于的最大整数，例如，；也叫做取整函数.请用取整函数写出函数的简洁表达式.

4 . 设函数定义域为，对于下列命题：
①令，则函数为偶函数；
②若存在常数，使得对任意的，都有成立，则是的最大值；
③若对于任意的，都有成立，则在上严格递减；
④若函数的图像是一条连续的曲线，且对，有，则函数在区间上不存在零点.
其中，所有真命题的序号为______.

5 . 设函数定义域为，如果存在常数满足：任取，都有，则称是型函数，是这个型函数的常数
(1)判断函数，是不是型函数，并说明理由：如果是，给出一个常数；
(2)设函数是定义在区间上的型函数，是一个常数，求证：函数也是型函数；
(3)设函数是定义在上的型函数，其常数，且的值域也是，求的解析式

6 . 记，已知定义域为的函数满足，且该函数恰有2023个零点，若不等式恒成立，则实数的最大值为______.

7 . 已知函数与函数的图象交于点M、N、P，此三点中最远的两点间距离为，则实数______.

8 . 对于函数，若实数满足，其中F、D为非零实数，则称为函数的“笃志点”.
(1)若，求函数的“笃志点”；
(2)已知函数，且函数有且只有3个“笃志点”，求实数a的取值范围；
(3)定义在R上的函数满足：存在唯一实数m，对任意的实数x，使得恒成立或恒成立.对于有序实数对，讨论函数“笃志点”个数的奇偶性，并说明理由.

9 . 给出函数，
(1)若，求不等式的解集；
(2)若，且，求的取值范围；
(3)若，非零实数，满足，求证：.

10 . 对于直角坐标平面上的两个点，记.
(1)若点在函数图像上，点的坐标为，求满足的的集合；
(2)若，点是直角坐标平面上的任意一点，求的最小值并指出取得最小值时的点的集合；
(3)若点在函数图像上且，点的坐标为，求的最小值并说明理由.