1 . 已知函数，其中.
（1）求证：；
（2）若函数为定义域上的增函数，求的取值范围；
（3）若函数在上有两个零点，，求参数的取值范围，并证明：.

2 . 已知函数（且）是定义域为R的奇函数，且．
（1）求的值，并判断和证明的单调性；
（2）是否存在实数（且），使函数在上的最大值为0，如果存在，求出实数所有的值；如果不存在，请说明理由．
（3）是否存在正数，使函数在上的最大值为，若存在，求出值，若不存在，请说明理由．

3 . 已知是定义在区间上的奇函数，且，若，时，有．
(1)判断函数的单调性，并用定义证明；
(2)解不等式；
(3)若对所有恒成立，求实数的取值范围．

4 . 已知函数．
（1）若不等式；对任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：．

5 . 已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在区间上是减函数，在上是增函数．
（1）如果函数（）的值域为，求b的值；
（2）研究函数（常数）在定义域上的单调性，并说明理由；
（3）对函数和（常数）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（n是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．

6 . 已知函数，其中a为常数.
(1)当时，解不等式；
(2)若是奇函数，判断并证明的单调性；
(3)若在上存在2021个不同的实数，，使得，求实数a的取值范围.

7 . 已知函数.
（1）当时，求在的零点个数；
（2）若有两个零点，，且，证明：；
（3）已知，在（2）的条件下，证明：.

8 . 已知函数对任意实数x，，满足条件，且当时，.
（1）求证：是R上的递增函数；
（2）解不等式；

9 . 已知定义在的奇函数满足：①；②对任意均有；③对任意，均有.
（1）求的值；
（2）利用定义法证明在上单调递减；
（3）若对任意，恒有，求实数的取值范围.

10 . 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，证明：对任意的．