1 . 设对集合上的任意两相异实数，，若恒成立，则称在上优于；若恒成立，则称在上严格优于.
（1）设在上优于，且是偶函数，判断并证明的奇偶性；
（2）若在上严格优于，，若是上的增函数，求证：在上也是增函数；
（3）设函数，，若，是否存在实数使得在上优于，若存在，求实数的最大值；若不存在，请说明理由.

3 . 设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得.
(1)求证：为奇函数；
(2)求证：在上单调递增；
(3)设函数，，不等式对恒成立，试求的值域.

4 . 已知函数，，其中.
(1)若，，求的单调区间；
(2)对于给定的实数，若函数存在最大值，
（i）求证：；
（ii）求实数的取值范围（用表示）.

5 . 已知定义在的函数满足：①对，，；②当时，；③.
(1)求，判断并证明的单调性；
(2)若，使得，对成立，求实数的取值范围；
(3)解关于的不等式.

7 . 已知函数．
(1)求函数的零点；
(2)证明：当时，函数是上的严格增函数；
(3)设，若对任意，恒成立，求正实数的取值范围．

8 . 已知函数．
(1)若，求证：函数在R上单调递增；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的最小值．

9 . 求证:.

10 . 已知函数为自然对数的底数）.
(1)当时，判断函数的单调性和零点个数，并证明你的结论；
(2)当时，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围.