1 . 已知函数的定义域为，且，．
(1)若，求A与；
(2)证明：函数是偶函数；
(3)证明函数是周期函数；
(4)若的周期为T，在上是减函数，记的正的零点从小到大依次为，，，，证明在区间上有4048个零点，且．

2 . 若存在实数和周期函数，使得，则称是好函数．
(1)判断是否是好函数，证明你的结论；
(2)对任意实数，函数满足．若是好函数，
（i）当时，求；
（ii）求证：不是周期函数；
（iii）求证：是好函数．

3 . 若函数满足且，则称函数为“M函数”．
(1)试判断是否为“M函数”，并说明理由；
(2)函数为“M函数”，其在的图象落在直线上，在函数图象上任取一点P，对于定点，求线段AP的最小值；
(3)函数为“M函数”，且当时，，求的解析式；若当，关于x的方程（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S．

4 . 函数称为高斯函数，其中“”表示不超过实数的最大整数，又称“的整数部分”.高斯函数在数论、函数绘图和计算机等领域有广泛的应用，我们记.
(1)设方程的两个不同实数解为与，且，求的值；
(2)请确认是否存在函数：，满足对，都有：
①；②同时成立.
(3)求证：对，，.

5 . 已知函数为上的奇函数.当时，(为常数)，.
(1)当时，求函数的值域:
(2)若函数的图像关于点中心对称.
①设函数，求证:函数为周期函数;
②若对任意恒成立，求的最大值.

6 . 函数是物理中常见的锯齿波函数，其中表示不大于x的最大整数，标准锯齿波波形先呈直线上升，随后陡落，再上升，再陡落，如此反复．下列说法正确的有（     ）

A．	B．函数的最小正周期为
C．函数的值域为	D．函数为周期函数

7 . “最速曲线”是一段旋轮线上下翻转而成．旋轮线C的参数方程为，其中为参数，为常数，旋轮线C也可看作某一个函数的图象．下列说法正确的有（       ）

A．点在旋轮线C上

B．函数是偶函数

C．函数不是周期函数

D．当时，函数在单调递减

8 . 已知函数和实数，，则下列说法正确的是（       ）

A．定义在上的函数恒有，则当时，函数的图象有对称轴

B．定义在上的函数恒有，则当时，函数具有周期性

C．若，，，则，恒成立

D．若，，，且的4个不同的零点分别为，且，则

9 . 已知函数的定义域为，，，且在区间上单调递减．
(1)求证：；
(2)求的值；
(3)当时，求不等式的解集．

10 . 已知不是常数函数，且满足：.①请写出函数的一个解析式_________；②将你写出的解析式得到新的函数，若，则实数a的值为_________.