2023·全国·模拟预测
1 . 一类项目若投资1元，投资成功的概率为
．如果投资成功，会获得
元的回报
；如果投资失败，则会亏掉1元本金．为了规避风险，分多次投资该类项目，设每次投资金额为剩余本金的
，1956年约翰·拉里·凯利计算得出，多次投资的平均回报率函数为
，并提出了凯利公式．
(1)证明：当
时，使得平均回报率
最高的投资比例
满足凯利公式
；
(2)若
，
，求函数
在
上的零点个数．
．如果投资成功，会获得元的回报；如果投资失败，则会亏掉1元本金．为了规避风险，分多次投资该类项目，设每次投资金额为剩余本金的，1956年约翰·拉里·凯利计算得出，多次投资的平均回报率函数为，并提出了凯利公式．(1)证明：当
时，使得平均回报率最高的投资比例满足凯利公式；(2)若
，，求函数在上的零点个数．
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2024-01-17更新
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830次组卷
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5卷引用：重庆市乌江新高考协作体2024届高三上学期高考第一次联合调研抽测数学试题
名校
2 . 已知抛物线
：
的焦点为
，过点引圆
：
的一条切线，切点为
，
.
(1)求抛物线的方程；
(2)过圆M上一点A引抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，是否存在点A使得
的面积为
？若存在，求点A的个数；否则，请说明理由.
：的焦点为，过点引圆：的一条切线，切点为，.(1)求抛物线
的方程；(2)过圆M上一点A引抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，是否存在点A使得
的面积为？若存在，求点A的个数；否则，请说明理由.
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3 . 已知函数
．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，求a的最大整数值．
．(1)讨论函数
的单调性；(2)若函数
有两个零点，求a的最大整数值．
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名校
4 . 已知函数
（其中a，b为实数）的图象在点
处的切线方程为
．
(1)求实数a，b的值；
(2)证明：方程
有且只有一个实根．
（其中a，b为实数）的图象在点处的切线方程为．(1)求实数a，b的值；
(2)证明：方程
有且只有一个实根．
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2022-05-23更新
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1319次组卷
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6卷引用：重庆市第八中学校2022届高三下学期高考考前模拟数学试题
重庆市第八中学校2022届高三下学期高考考前模拟数学试题江苏省苏州大学2022届高三下学期5月高考前指导数学试题四川省成都市树德中学2022届高三下学期高考适应性考试数学（文科）试题四川省成都市树德中学2022届高三下学期高考适应性考试数学（理科）试题（已下线）专题09 函数零点问题的综合应用（已下线）专题09 函数零点问题的综合应用-2
名校
5 . 已知函数
，
，已知
是函数
的极值点．
(1)求曲线
在
处的切线方程，并判断函数的零点个数；
(2)若对任意的
，
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)设函数
．证明：
．
，，已知是函数的极值点．(1)求曲线
在处的切线方程，并判断函数的零点个数；(2)若对任意的
，恒成立，求实数的取值范围；(3)设函数
．证明：．
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2022-11-16更新
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1270次组卷
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4卷引用：重庆市第七中学校2024届高三上学期第一次月考数学试题
重庆市第七中学校2024届高三上学期第一次月考数学试题天津市滨海新区塘沽第一中学2022-2023学年高三上学期第二次月考数学试题 江苏省苏州市2023届高三上学期12月高考模拟数学试题（已下线）第5章 一元函数的导数及其应用 单元综合检测（难点）(练习)-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）
名校
6 . 已知函数
．
(1)讨论的单调性；
(2)若在
上有零点
，
①求a的取值范围；
②求证：
．
．(1)讨论
的单调性；(2)若
在上有零点，①求a的取值范围；
②求证：
．
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2022-01-18更新
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1099次组卷
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4卷引用：重庆市第八中学2022届高三下学期调研检测（一）数学试题
重庆市第八中学2022届高三下学期调研检测（一）数学试题山东省烟台市2021-2022学年高三上学期期末数学试题（已下线）专题16 第一篇 热点、难点突破（测试卷）--第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（新高考·全国卷）》天津市南开区翔宇学校2022-2023学年高三上学期期末数学试题
2023高三·全国·专题练习
名校
解题方法
7 . 设
．
(1)当
时，求在
上的最大值：
(2)若
对任意
恒成立，求
的取值范围．
．(1)当
时，求在上的最大值：(2)若
对任意恒成立，求的取值范围．
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名校
8 . 设函数
，其中
.
(1)若，求不等式
的解集；
(2)求证：
，函数有三个零点
，
，
，且，，
成等比数列.
，其中.(1)若
，求不等式的解集；(2)求证：
，函数有三个零点，，，且，，成等比数列.
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2023-08-18更新
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322次组卷
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3卷引用：重庆市第八中学校2023届高三下学期适应性月考（八）数学试题
名校
解题方法
9 . 已知函数
(其中
)，
为的导数
.
（1）求导数的最小值；
（2）若不等式
恒成立，求的取值范围.
(其中)，为的导数.（1）求导数
的最小值；（2）若不等式
恒成立，求的取值范围.
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2020-11-12更新
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1083次组卷
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5卷引用：重庆市十八中两江实验中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题
重庆市十八中两江实验中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题江西省南昌县莲塘第一中学2021届高三11月质量检测数学（文）试题江苏省扬州市高邮市临泽中学2021-2022学年高三下学期7月末阶段性测试数学试题（已下线）第五章 一元函数的导数及其应用单元测试（基础卷）-2020-2021学年高二数学新教材单元双测卷（人教A版2019选择性必修第二册）甘肃省天水市秦安县民生高级中学2022届高三一模数学（文）试题
名校
10 . 已知函数
.
（1）讨论的单调性；
（2）若
，记的零点为，
的极大值点为，求证：
·
.（1）讨论
的单调性；（2）若
，记的零点为，的极大值点为，求证：·
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