1 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)①证明函数（为自然对数的底数）在区间内有唯一的零点；
②设①中函数的零点为，记（其中表示中的较小值），若在区间内有两个不相等的实数根，证明：.

2 . 已知函数有且只有一个零点，则的取值范围为（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 已知函数，.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且，证明：.

4 . 已知函数在有零点.
(1)求实数的取值范围.
(2)求证：.

5 . 已知函数（是自然对数的底数）有两个零点.
(1)求实数的取值范围；
(2)若的两个零点分别为，，证明：.

6 . 已知函数，其中．
(1)证明：恒有唯一零点；
(2)记（1）中的零点为，当时，证明：图像上存在关于点对称的两点．

7 . （1）已知函数.若函数在时取得极值，求实数的值；
（2）已知函数.试探求函数零点的个数，并证明你的结论.

8 . 若关于的不等式在是恒成立，则实数的取值范围是__.

9 . 已知，，，其中e是自然对数的底数，．
(1)讨论当a=1时，函数的单调性和极值；
(2)求证：在（1）的条件下；
(3)是否存在正实数a，使的最小值是3?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

10 . 已知函数．
(1)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
(2)设，点为曲线上的两个不同点，若，且存在，使得曲线在点处的切线与直线平行，试证明.