1 . 若函数的图象上的两个不同点处的切线互相重合,则称该切线为函数的图象的“自公切线”,称这两点为函数的图象的一对“同切点”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”,并说明理由;
(2)若,求证:函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”;
(3)设,的零点为,,求证:“存在,使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
(1)分别判断函数与的图象是否存在“自公切线”,并说明理由;
(2)若,求证:函数有唯一零点且该函数的图象不存在“自公切线”;
(3)设,的零点为,,求证:“存在,使得点与是函数的图象的一对‘同切点’”的充要条件是“是数列中的项”.
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2 . 已知函数是自然对数的底数.
(1)当时,求函数的单调性;
(2)若关于的方程有两个不等实根,求的取值范围;
(3)若为整数,且当时,恒成立,求的最大值.
(1)当时,求函数的单调性;
(2)若关于的方程有两个不等实根,求的取值范围;
(3)若为整数,且当时,恒成立,求的最大值.
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3 . 已知函数有三个不同的零点,其中则的值为__________ .
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解题方法
4 . 已知函数.
(1)若直线是曲线的切线,求实数的值;
(2)若对任意实数恒成立,求的取值范围;
(3)若,且,求实数的最大值.
(1)若直线是曲线的切线,求实数的值;
(2)若对任意实数恒成立,求的取值范围;
(3)若,且,求实数的最大值.
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5 . 已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求证:函数的图象位于直线的下方;
(3)若函数在区间上无零点,求的取值范围.
(1)求曲线在点处的切线方程;
(2)求证:函数的图象位于直线的下方;
(3)若函数在区间上无零点,求的取值范围.
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6 . 已知各项均不为0的数列满足(是正整数),,定义函数,是自然对数的底数.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记函数,其中.
(i)证明:对任意,;
(ii)数列满足,设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为:若存在一个常数,使得对任意给定的正实数(不论它多么小),总存在正整数m满足:当时,恒有成立,则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;
(2)记函数,其中.
(i)证明:对任意,;
(ii)数列满足,设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为:若存在一个常数,使得对任意给定的正实数(不论它多么小),总存在正整数m满足:当时,恒有成立,则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
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解题方法
7 . 已知.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数存在两个不同的极值点,求证:;
(3)若,,数列满足,.求证:当时,.
(1)若,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数存在两个不同的极值点,求证:;
(3)若,,数列满足,.求证:当时,.
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解题方法
8 . 固定项链的两端,在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年,莱布尼茨等得出“悬链线”方程,其中为参数.当时,就是双曲余弦函数,悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程.类比三角函数的三种性质:①平方关系:;②两角和公式:,③导数:定义双曲正弦函数.
(1)直接写出,具有的类似①、②、③的三种性质(不需要证明);
(2)当时,双曲正弦函数的图像总在直线的上方,求直线斜率的取值范围;
(3)无穷数列满足,,是否存在实数,使得?若存在,求出的值,若不存在,说明理由.
(1)直接写出,具有的类似①、②、③的三种性质(不需要证明);
(2)当时,双曲正弦函数的图像总在直线的上方,求直线斜率的取值范围;
(3)无穷数列满足,,是否存在实数,使得?若存在,求出的值,若不存在,说明理由.
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9 . 已知,则使不等式能成立的正整数的最大值为__________ .
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10 . 已知函数的表达式为.
(1)当时,证明;
(2)当时,讨论函数的单调性;
(3)若对恒成立,求实数a的取值范围.
(1)当时,证明;
(2)当时,讨论函数的单调性;
(3)若对恒成立,求实数a的取值范围.
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