1 . 已知函数，．
(1)若，证明：当时；
(2)当时，，求a的取值范围．

2 . 某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.
(1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？

3 . 已知函数．
(1)求的最小值；
(2)设，证明：

4 . 已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，证明：在上单调递增；
(3)判断与的大小关系，并加以证明．

5 . 已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若关于的方程有两个不相等的实数根、，
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）求证：．

6 . 已知函数（a为常数）.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，求不等式的解集；
（Ⅲ）若存在两个不相等的正数，满足，求证：.

7 . 已知函数．
(1)求函数的极值点和零点；
(2)若恒成立，求实数k的取值范围．

8 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若（e是自然对数的底数），且，，，证明：.

9 . 已知函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若，讨论函数的零点个数.

10 . 已知函数．
(1)若，求的极小值．
(2)讨论函数的单调性；
(3)当时，证明：有且只有个零点．