1 . 函数的凹凸性是函数的重要性质之一．函数凹凸性的定义：函数在区间内可导，是内任一点．若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的下方，则称曲线弧在内是凹的；若曲线弧上点处的切线总位于曲线弧的上方，则称曲线弧在内是凸的．函数在区间上为凹(凸)函数等价于的导函数在区间上单调递增(递减)．若在定义域内是凹函数，则的最小值是（     ）

A．

B．

C．

D．

2 . 现如今国家大力提倡养老社会化、市场化，老年公寓是其养老措施中的一种能够满足老年人的高质量、多样化、专业化生活及疗养需求.某老年公寓负责人为了能给老年人提供更加良好的服务，现对所入住的 120 名老年人征集意见，该公寓老年人的入住房间类型情况如下表所示：

入住房间的类型	单人间	双人间	三人间
人数	36	60	24

(1)若按入住房间的类型采用分层抽样的方法从这 120 名老年人中随机抽取 10 人，再从这10人中随机抽取4 人进行询问，记随机抽取的4 人中入住单人间的人数为，求的分布列和数学期望.
(2)记双人间与三人间为多人间，若在征集意见时要求把入住单人间的2人和入住多人间的且人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人入住房间类型相同，则该组标为，否则该组标为.记询问的某组被标为的概率为.
（i）试用含的代数式表示;
（ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为的概率，试求的最大值及此时的值.

3 . 已知，函数的图象记为，的图象记为.则（       ）

A．函数只有一个零点	B．与没有共同的切线
C．当时，曲线在曲线的下方	D．当时，

4 . 设．
(1)证明：的图象与直线有且只有一个横坐标为的公共点，且；
(2)求所有的实数，使得直线与函数的图象相切；
(3)设（其中由（1）给出），且，，求的最大值．

5 . 劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，对于培养社会主义建设者和接班人具有重要战略意义.为了使学生熟练掌握一定劳动技能，理解劳动创造价值，某普通高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为20cm，高为40cm的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.
(1)求该圆柱的侧面积的最大值；
(2)求该圆柱的体积的最大值.

6 . 已知极坐标系中极点与直角坐标原点均为O，曲线，．
(1)求C的直角坐标方程与和C的交点到O的距离；
(2)已知直线，，．若分别与C交于P，Q，R点，求的最小值．

7 . 某单位有名职工，通过抽验筛查一种疾病的患者．假设患疾病的人在当地人群中的比例为.专家建议随机地按（且为的正因数）人一组分组，然后将各组个人的血样混合再化验. 如果混管血样呈阴性，说明这个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.设该种方法需要化验的总次数为.
(1)当时，求的取值范围并解释其实际意义；
(2)现对混管血样逐一化验，至化验出阳性样本时停止，最多化验次.记为混管的化验次数，当足够大时，证明：；
(3)根据经验预测本次检测时个人患病的概率，当时，按照计算得混管数量的期望；某次检验中，试判断个人患病的概率为是否合理.（如果，则说明假设不合理）．
附：若，则，，.

8 . 已知O为坐标原点，点，其中为锐角，则（       ）

A．为定值	B．的最大值为3
C．的最小值为	D．的最小值为

9 . 如图，已知球的表面积为，若将该球放入一个圆锥内部，使球与圆锥底面和侧面都相切，则圆锥的体积的最小值为__________.

   

10 . 某种型号轮船每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成．其中，可变部分成本与航行速度的立方成正比，且当速度为时，其可变部分成本为每小时8元；固定部分成本为每小时128元．
(1)设该轮船航行速度为，试将其每小时的运输成本表示为的函数；
(2)当该轮船的航行速度为多少时，其每千米的运输成本（单位：元）最低？