解题方法
1 . 若函数
有且仅有一个极值点
，函数
有且仅有一个极值点
，且
，则称与具有性质
．
(1)函数
与
是否具有性质
？并说明理由．
(2)已知函数
与
具有性质
．
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
．
有且仅有一个极值点，函数有且仅有一个极值点，且，则称与具有性质．(1)函数
与是否具有性质？并说明理由．(2)已知函数
与具有性质．（i）求
的取值范围；（ii）证明：
．
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名校
解题方法
2 . 一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂， 并只受重力的影响，这个项链形成的曲 线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程 
，其中
为参数.当
时，就是双曲余弦函数
，类似地双曲正弦函数 
，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比三角函数的三个性质：
①倍角公式
；
②平方关系
；
③求导公式
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
(2)当
时，双曲正弦函数
图象总在直线
的上方，求实数
的取值范围；
(3)若
，证明：
，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数 ，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比三角函数的三个性质：
①倍角公式
；②平方关系
；③求导公式
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
(2)当
时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数的取值范围；(3)若
，证明：
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2024-06-10更新
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381次组卷
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2卷引用：浙江省杭州市西湖高级中学2024届高三下学期数学模拟预测数学试题
名校
解题方法
3 . 帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数
，函数
在
处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，
，…，
. 已知
在处的
阶帕德近似为
.注：
，
，
，
，…
(1)求实数
的值；
(2)当
时，试比较
与
的大小，并证明；
(3)定义数列
：
，
，求证：
.
，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，. 已知在处的阶帕德近似为.注：，，，，…(1)求实数
的值；(2)当
时，试比较与的大小，并证明；(3)定义数列
：，，求证：.
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2024-05-31更新
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704次组卷
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3卷引用：浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年高三下学期适应性教学质量调测数学试卷
名校
4 . 已知函数
.
(1)当
时，证明：
；
(2)当
时，
，求
的最大值；
(3)若在区间
存在零点，求的取值范围.
.(1)当
时，证明：；(2)当
时，，求的最大值；(3)若
在区间存在零点，求的取值范围.
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解题方法
5 . 如图，对于曲线
，存在圆
满足如下条件：
①圆与曲线有公共点
，且圆心在曲线凹的一侧；
②圆与曲线在点处有相同的切线；
③曲线的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆
在点
处的二阶导数等于
）；
则称圆为曲线在点处的曲率圆，其半径
称为曲率半径．
(1)求抛物线
在原点的曲率圆的方程；
(2)求曲线
的曲率半径的最小值；
(3)若曲线
在
和
处有相同的曲率半径，求证：
．
，存在圆满足如下条件：
①圆
与曲线有公共点，且圆心在曲线凹的一侧；②圆
与曲线在点处有相同的切线；③曲线
的导函数在点处的导数（即曲线的二阶导数）等于圆在点处的二阶导数（已知圆在点处的二阶导数等于）；则称圆
为曲线在点处的曲率圆，其半径称为曲率半径．(1)求抛物线
在原点的曲率圆的方程；(2)求曲线
的曲率半径的最小值；(3)若曲线
在和处有相同的曲率半径，求证：．
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2024-03-22更新
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1395次组卷
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3卷引用：浙江省温州市2024届高三第二次适应性考试数学试题
解题方法
6 . 已知函数
．
(1)若
时，
在其定义域内不是单调函数，求a的取值范围；
(2)若
，
时，函数有两个极值点
，
，求证：
．
．(1)若
时，在其定义域内不是单调函数，求a的取值范围；(2)若
，时，函数有两个极值点，，求证：．
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名校
解题方法
7 . 已知函数
有两个不同的零点
．
(1)求实数的取值范围；
(2)证明：
．
有两个不同的零点．(1)求实数
的取值范围；(2)证明：
．
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2024-02-12更新
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1167次组卷
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3卷引用：浙江省金丽衢十二校2023-2024学年高三上学期第一次联考数学试题
名校
8 . 函数
.
(1)求函数
的单调增区间；
(2)当
时，若
，求证：
；
(3)求证：对于任意
都有
.
.(1)求函数
的单调增区间；(2)当
时，若，求证：；(3)求证：对于任意
都有.
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2024-01-03更新
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1387次组卷
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6卷引用：浙江省嘉兴市第一中学2024届高三第一次模拟测试数学试题
浙江省嘉兴市第一中学2024届高三第一次模拟测试数学试题广西2024届高三高考桂柳鸿图数学模拟金卷试题（四）江西省上饶市婺源天佑中学2024届高三上学期1月考试数学试题（已下线）模块四 第五讲：利用导数证明不等式【练】（已下线）压轴题01集合新定义、函数与导数13题型汇总 -1广西''贵百河“2023-2024学年高二下学期4月新高考月考测试数学试卷
解题方法
9 . 已知函数
，
，
为自然对数底数．
(1)证明：当
时，
；
(2)若不等式
对任意的
恒成立，求整数的最小值．
，，为自然对数底数．(1)证明：当
时，；(2)若不等式
对任意的恒成立，求整数的最小值．
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解题方法
10 . 已知函数
，其导函数为
，则（ ）
，其导函数为，则（ ）A．曲线在 处的切线方程为 |
| B．有极大值，也有极小值 |
C．使得 恒成立的最小正整数为2021 |
D．有两个不同零点，且 |
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