1 . 已知函数．
（1）当函数在内有且只有一个极值点，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个不同的极值点，求证：．

2 . 已知函数，，.
（1）求的单调区间；
（2）若有最大值且最大值是，求证：.

3 . 已知函数.
（1）讨论函数的零点个数；
（2）若（为给定的常数，且），记在区间上的最小值为，求证：.

4 . 已知函数，函数.
（1）当时，若对任意恒成立，求的取值范围；
（2）若函数有两个不同的零点和，求的取值范围，并证明：.

5 . 已知函数，是的导函数.
（1）证明：当时，在上有唯一零点；
（2）若存在，且时，，证明：.

6 . 已知，函数
（Ⅰ）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）设正实数，求证：对上的任意两个实数，，总有成立

7 . 证明：
(1)求证：当实数时，；
(2)已知，，如果，的图象有两个不同的交点，.求证：.
（参考数据：，，，为自然对数的底数）

8 . 已知函数,其中
为自然对数的底数.
(1)当时，讨论函数的单调性;
(2)当时，求证:对任意的.

9 . 已知函数，曲线在原点处的切线为.
(1)证明：曲线与轴正半轴有交点；
(2)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线，求证：曲线上的点都不在直线的上方；
(3)若关于的方程（为正实数）有不等实根，求证：.

10 . 已知函数，.
（Ⅰ）若函数在上单调递增，求实数的取值范围;
（Ⅱ）若函数的图象与直线交于两点，线段中点的横坐标为，证明：（为函数的导函数）.