24-25高三上·重庆·开学考试
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解题方法
1 . 已知.
(1)若存在两个不同的使得的最小值为0,证明:;
(2)设(为常数),且当恒成立时,的最小值为,求的取值集合.
(1)若存在两个不同的使得的最小值为0,证明:;
(2)设(为常数),且当恒成立时,的最小值为,求的取值集合.
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2 . 若函数有个零点,且从小到大排列依次为,定义如下:.已知函数(其中为实数).
(1)设是的导函数,试比较和的大小;
(2)若,求的取值范围;
(3)对任意正实数,证明:.
(1)设是的导函数,试比较和的大小;
(2)若,求的取值范围;
(3)对任意正实数,证明:.
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解题方法
3 . (1)证明:当时,;
(2)已知正项数列满足.
(i)证明:数列为递增数列;
(ii)证明:若,则对任意正整数,都有.
(2)已知正项数列满足.
(i)证明:数列为递增数列;
(ii)证明:若,则对任意正整数,都有.
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4 . 已知函数,.
(1)若,讨论在上的单调性.
(2)设为方程的实数根,其中,.
(ⅰ)证明:,有;
(ⅱ)若,,证明:.
(1)若,讨论在上的单调性.
(2)设为方程的实数根,其中,.
(ⅰ)证明:,有;
(ⅱ)若,,证明:.
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5 . 已知与都是定义在上的函数,若对任意,,当时,都有,则称是的一个“控制函数”.
(1)判断是否为函数的一个控制函数,并说明理由;
(2)设的导数为,,求证:关于的方程在区间上有实数解;
(3)设,函数是否存在控制函数?若存在,请求出的所有控制函数;若不存在,请说明理由.
(1)判断是否为函数的一个控制函数,并说明理由;
(2)设的导数为,,求证:关于的方程在区间上有实数解;
(3)设,函数是否存在控制函数?若存在,请求出的所有控制函数;若不存在,请说明理由.
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解题方法
6 . 已知奇函数,其中.
(1)求值;
(2)若对任意上恒成立,求的取值范围;
(3)记,证明:当时,.
(1)求值;
(2)若对任意上恒成立,求的取值范围;
(3)记,证明:当时,.
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7 . 在信息理论中,和是两个取值相同的离散型随机变量,分布列分别为:,,,,,.定义随机变量的信息量,和的“距离”.
(1)若,求;
(2)已知发报台发出信号为0和1,接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为,由于通信信号受到干扰,发出信号0接收台收到信号为0的概率为,发出信号1接收台收到信号为1的概率为.
(ⅰ)若接收台收到信号为0,求发报台发出信号为0的概率;(用,表示结果)
(ⅱ)记随机变量和分别为发出信号和收到信号,证明:.
(1)若,求;
(2)已知发报台发出信号为0和1,接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为,由于通信信号受到干扰,发出信号0接收台收到信号为0的概率为,发出信号1接收台收到信号为1的概率为.
(ⅰ)若接收台收到信号为0,求发报台发出信号为0的概率;(用,表示结果)
(ⅱ)记随机变量和分别为发出信号和收到信号,证明:.
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2024-05-19更新
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1222次组卷
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7卷引用:江西省上饶市稳派上进六校联考2024届高三5月第二次联合考试数学试题
江西省上饶市稳派上进六校联考2024届高三5月第二次联合考试数学试题海南省部分学校2024届高三考前押题考试(三模)数学试题吉林省长春市实验中学2023-2024学年高三下学期对位演练考试数学试卷(七)2024届山东省实验中学高三下学期5月高考模拟数学试题山东省齐鲁名师联盟2025届高三上学期第一次诊断考试数学试题(已下线)专题2 随机变量及其分布压轴大题(过关集训)(已下线)专题6 概率与统计中的新定义压轴大题(过关集训)
解题方法
8 . “对称性”是一个广义的概念,包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴,是数学之美的重要体现.假定以下各点均在第一象限,各函数的定义域均为.设点,,,规定,且对于运算“”,表示坐标为的点.若点U,V,W满足,则称V与U相似,记作V~U.若存在单调函数和,使得对于图像上任意一点T,均在图像上,则称为的镜像函数.
(1)若点,,且N~M,求的坐标;
(2)证明:若为的镜像函数,,则;
(3)已知函数,为的镜像函数.设R~S,且.证明:.
(1)若点,,且N~M,求的坐标;
(2)证明:若为的镜像函数,,则;
(3)已知函数,为的镜像函数.设R~S,且.证明:.
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解题方法
9 . 函数与函数之间存在位置关系.已知函数与的图象在它们的公共定义域内有且仅有一个交点,对于且,且,若都有,则称与关于点互穿;若都有,则称与关于点互回.已知函数与的定义域均为,导函数分别为与,与的图象在上有且仅有一个交点,与的图象在上有且仅有一个交点.
(1)若,,试判断函数与的位置关系.
(2)若与关于点互回,证明:与关于点互穿且在上恒成立.
(3)研究表明:若与关于点互穿,则与关于点互回且在上恒成立.根据以上信息,证明:(为奇数).
(1)若,,试判断函数与的位置关系.
(2)若与关于点互回,证明:与关于点互穿且在上恒成立.
(3)研究表明:若与关于点互穿,则与关于点互回且在上恒成立.根据以上信息,证明:(为奇数).
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10 . 阅读材料一:“装错信封问题”是由数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli,1667~1748)的儿子丹尼尔·伯努利提出来的,大意如下:一个人写了封不同的信及相应的个不同的信封,他把这封信都装错了信封,问都装错信封的这一情况有多少种?后来瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler,1707~1783)给出了解答:记都装错封信的情况为种,可以用全排列减去有装正确的情况种数,结合容斥原理可得公式:,其中.
阅读材料二:英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处阶可导,则有:,注表示的阶导数,该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题:
(1)求出的值;
(2)估算的大小(保留小数点后2位),并给出用和表示的估计公式;
(3)求证:,其中.
阅读材料二:英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式:当在处阶可导,则有:,注表示的阶导数,该公式也称麦克劳林公式.阅读以上材料后请完成以下问题:
(1)求出的值;
(2)估算的大小(保留小数点后2位),并给出用和表示的估计公式;
(3)求证:,其中.
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