名校
1 . 有如下条件：
①对
，
，2，
，均有
；
②对，，2，，均有
；
③对，，2，3，
；若
，则均有
；
④对，，2，3，；若，则均有
.
(1)设函数
，
，请写出该函数满足的所有条件序号，并充分说明理由；
(2)设
，比较函数
，
，
值的大小，并说明理由；
(3)设函数
，满足条件②，求证：
的最大值
.（注：导数法不予计分）
①对
，，2，，均有；②对
，，2，，均有；③对
，，2，3，；若，则均有；④对
，，2，3，；若，则均有.(1)设函数
，，请写出该函数满足的所有条件序号，并充分说明理由；(2)设
，比较函数，，值的大小，并说明理由；(3)设函数
，满足条件②，求证：的最大值.（注：导数法不予计分）
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2024-02-23更新
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511次组卷
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5卷引用：北京市海淀区北京大学附属中学行知学院2022-2023学年高一下学期期中数学试题
名校
2 . 已知函数
(1)求方程
在
上的解集
(2)设函数
，
.
①证明：
在区间
上有且只有一个零点；
②记函数的零点为
，证明：
(1)求方程
在上的解集(2)设函数
，.①证明：
在区间上有且只有一个零点；②记函数
的零点为，证明：
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2024-03-27更新
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344次组卷
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2卷引用：辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高一下学期5月期中数学试题
名校
解题方法
3 . 对于定义在
上的函数
和正实数
若对任意
，有
，则为
阶梯函数.
(1)分别判断下列函数是否为
阶梯函数（直接写出结论）：
①
；
②
.
(2)若
为阶梯函数，求的所有可能取值；
(3)已知为阶梯函数，满足：在
上单调递减，且对任意，有
.若函数
有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为
；若
时，证明：存在
，使得
在
上有4046个零点，且
.
上的函数和正实数若对任意，有，则为阶梯函数.(1)分别判断下列函数是否为
阶梯函数（直接写出结论）：①
；②
.(2)若
为阶梯函数，求的所有可能取值；(3)已知
为阶梯函数，满足：在上单调递减，且对任意，有.若函数有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为；若时，证明：存在，使得在上有4046个零点，且.
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2024-01-10更新
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302次组卷
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3卷引用：北京市北京交大附中2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
北京市北京交大附中2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题山东省青岛市即墨区第一中学2023-2024学年高一上学期第二次阶段检测数学试题（已下线）专题05 三角函数4-2024年高一数学寒假作业单元合订本
名校
4 . 为提升城市景观面貌，改善市民生活环境，某市计划对一公园的一块四边形区域
进行改造．如图，
（百米），
（百米），
，
，
，
，
，
分别为边
，
，
的中点，
所在区域为运动健身区域，其余改造为绿化区域，并规划4条观景栈道
，
，
，
以及两条主干道，
．（单位：百米）
，求主干道的长；
(2)当
变化时，
①证明运动健身区域的面积为定值，并求出该值；
②求4条观景栈道总长度的取值范围．
进行改造．如图，（百米），（百米），，，，，，分别为边，，的中点，所在区域为运动健身区域，其余改造为绿化区域，并规划4条观景栈道，，，以及两条主干道，．（单位：百米）
，求主干道的长；(2)当
变化时，①证明运动健身区域
的面积为定值，并求出该值；②求4条观景栈道总长度的取值范围．
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名校
5 . 某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若
分别为边
上的动点，当
的周长为2时，
有最小值（图1）、
为定值（图2）、
到的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题．的最小值；
(2)如图2，证明：为定值；
(3)如图3，证明：到的距离为定值．
某些问题时，发现可以在不作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若分别为边上的动点，当的周长为2时，有最小值（图1）、为定值（图2）、到的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题．
的最小值；(2)如图2，证明：
为定值；(3)如图3，证明：
到的距离为定值．
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名校
解题方法
6 . 已知函数
的定义域为且满足：对任意的
，有
恒成立，则称
为“
”函数.
(1)分别判断
和
是否为“”函数.（直接写出结果）
(2)若为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明；对任意的
，
，都有：
.
的定义域为且满足：对任意的，有恒成立，则称为“”函数.(1)分别判断
和是否为“”函数.（直接写出结果）(2)若
为上的“”函数，且是以4为周期的周期函数，证明；对任意的，，都有：.
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名校
7 . 已知
(1)某同学用“五点法”画出函数
在某一周期内的图像，列表如下：
请填写表中的空格，并写出函数的表达式
(2)若
，将函数的图像向右平移
个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数
的图像，求函数
的零点所组成的集合；
(3)对于（2）中的函数，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得
(1)某同学用“五点法”画出函数
在某一周期内的图像，列表如下： |  |  |  | ||
 | 0 | |  |  |  |
| 0 |  | 0 | 0 |
的表达式(2)若
，将函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移10个单位长度后得到函数的图像，求函数的零点所组成的集合；(3)对于（2）中的函数
，证明：存在无穷多个互不相等的正整数，使得
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解题方法
8 . 已知函数
的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)在
中，A为锐角且
，
，猜想的形状并证明.
的部分图象如图所示.(1)求函数
的解析式；(2)在
中，A为锐角且，，猜想的形状并证明.
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2023-08-06更新
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505次组卷
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3卷引用：海南省屯昌中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
名校
9 . 对于函数，
，
，
及实数m，若存在
，
，使得
，则称函数与
具有“m关联”性质.
(1)分别判断下列两组函数是否具有“2关联”性质，直接写出结论；
①
，
；
，；
②
，
；
，
；
(2)若
与
具有“m关联”性质，求m的取值范围；
(3)已知
，为定义在R上的奇函数，且满足：
①在
上，当且仅当
时，取得最大值1；
②对任意，有
.
求证：
与
不具有“4关联”性质.
，，，及实数m，若存在，，使得，则称函数与具有“m关联”性质.(1)分别判断下列两组函数是否具有“2关联”性质，直接写出结论；
①
，；，；②
，；，；(2)若
与具有“m关联”性质，求m的取值范围；(3)已知
，为定义在R上的奇函数，且满足：①在
上，当且仅当时，取得最大值1；②对任意
，有.求证：
与不具有“4关联”性质.
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2023-06-19更新
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338次组卷
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3卷引用：北京市顺义区2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
名校
10 . 设函数定义域为D，对于区间
，如果存在
，使得
，则称区间I为函数的“P区间”．
(1)求证：
是函数
的“P区间”；
(2)判断
是否是函数
的“P区间”，并说明理由；
(3)设
为正实数，若
是函数
的“P区间”，求的取值范围．
定义域为D，对于区间，如果存在，使得，则称区间I为函数的“P区间”．(1)求证：
是函数的“P区间”；(2)判断
是否是函数的“P区间”，并说明理由；(3)设
为正实数，若是函数的“P区间”，求的取值范围．
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