1 . 已知数列满足，，设.
(1)证明数列为等比数列；
(2)求数列的前项和.

2 . 如果数列对任意的，，则称为“速增数列”.
(1)请写出一个速增数列的通项公式，并证明你写出的数列符合要求；
(2)若数列为“速增数列”，且任意项，，，，求正整数的最大值.

3 . 已知数列的各项均为正数，，记为的前n项和．
(1)从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列是等差数列；②数列是等差数列；③．
(2)若，在（1）的条件下，将在数列中，但不在数列中的项从小到大依次排列构成数列，求数列的前20项和．

4 . 在数列中，，设，数列的前项和为.
(1)求；
(2)证明：.

5 . 已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．
(1)求的通项公式；
(2)证明：当时，．

6 . 已知数列和满足：，，，，其中．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)若，求数列的前n项和．

7 . 已知等差数列的前项和为，且满足．

(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列满足，记数列的前项和为，
证明：．

8 . 在数列中，，都有成立.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若数列是首项为1的等差数列，求实数的值及数列的前项和.

9 . 定义矩阵运算：．已知数列，满足，且．
(1)证明：，分别为等差数列，等比数列．
(2)求数列的前n项和．