1 . 某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求.

性别	就餐区域		合计
	南区	北区
男	33	10	43
女	38	7	45
合计	71	17	88

(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？
(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为，；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为.张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为，，.

	0.100	0.050	0.025	0.010
	2.706	3.841	5.024	6.635

（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；
（ⅱ）求第（）天他去甲餐厅用餐的概率.
附：，；

2 . 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.
(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为，
（i）证明：为等比数列；
（ii）证明：当时，.

3 . 已知数列，若为等比数列，则称具有性质P.
(1)若数列具有性质P，且，，求的值；
(2)若，求证：数列具有性质P；
(3)设，数列具有性质P，其中，，，若，求正整数m的取值范围.

4 . 已知等差数列前三项的和为，前三项的积为8.
(1)求等差数列的通项公式；
(2)若，，成等比数列，求数列的前10项和.

5 . 已知数列满足，，为数列的前n项和．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求n的最大值．

6 . 已知数列满足，且，数列满足.
(1)求数列通项公式.
(2)用二项式定理求除以4的余数.

7 . 某企业2021年年初有资金5千万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%.每年年底扣除下一年的消费基金1.5千万元后，剩余资金投入再生产.设从2021年的年底起，每年年底企业扣除消费基金后的剩余资金依次为.
(1)写出，并证明数列是等比数列；
(2)至少到哪一年的年底，企业的剩余资金会超过21千万元?()

8 . 设是等差数列，，且，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记的前项和为，求当为何值时，取得最小值.
(3)求数列的前项和的值.

9 . 记为数列{}的前n项和，已知.
(1)求{}的通项公式；
(2)若，求数列{}的前n项和.

10 . 在严峻的疫情面前，为了响应教育部提出的“停课不停学”的政策，居家上网课已成为“宅家学生族”最熟悉的情景了．相较于在学校教室里线下课程而言，上网课少了课堂氛围，加上师生互动环节不惬意，学生听课缺乏专注力．鉴于此，为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了，经过一个月对全体同学上课情况的观察统计．平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：
①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；
②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．
请回答如下两个问题：
(1)若某班级共有50名学生，一节课老师会进行三次专注度监测，那么全班同学在三次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？
(2)计某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为分的概率为（比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2的概率，，试解决下列问题：
①求证：数列为等比数列；
②求的通项公式．