1 . 若数列满足，其中，则称数列为数列．已知数列为数列，当时．
(1)求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式；
(2)，求．

2 . 已知数列满足: .
(1)求，由此猜想并直接写出数列的通项公式;
(2)记，求;
(3)在（2）的条件下，记，证明: 当时，.

3 . 设数列为等差数列，前项和为．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，证明：．

4 . 设的前项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)已知，且的前项和为，求证：.

5 . 已知正项数列满足.
(1)证明:数列是等比数列;
(2)若，数列的前项和为.证明:.

6 . 已知数列、的各项均为正数，且对任意，都有、、成等差数列，、、成等比数列，且，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)求数列、的通项公式；
(3)设，如果对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.

7 . 已知正项等比数列的方前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和，求证.

8 . 已知为公差不为0的等差数列的前项和，且．
(1)求的值；
(2)若，求证：．

9 . 已知数列满足，（）．
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式：
(2)记，为数列的前n项和，若对任意的正整数n都成立，求实数的取值范围．

10 . 在①，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答下列问题.
已知正项数列的前项和为，且__________，.
(1)求的通项公式；
(2)设为数列的前项和，证明：.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.