1 . 已知双曲线，过该曲线上的点作不平行于坐标轴的直线交双曲线的右支于另一点，作直线交双曲线的渐近线于两点A，B（A在第一象限）,其渐近线方程为，且，

(1)求双曲线方程．
(2)证明：直线过定点.
(3)当的斜率为负数时，求四边形的面积的取值范围．

2 . 造纸术是中国四大发明之一，彰显了古代人民的智慧.根据史料记载盛唐时期折纸艺术开始流行，19世纪折纸与数学研究相结合，发展成为折纸几何学.在一次数学探究课上，学生们研究了圆锥曲线的包络线折法.如图，在一张矩形纸片上取一点，记矩形一边所在直线为，将点折叠到上（即），不断重复这个操作，就可以得到由这些折痕包围形成的抛物线，这些折痕就是抛物线的包络线.在抛物线的所有包络线中，恰好过点的包络线所在的直线方程为__________.

   

3 . 一施工队欲使一块边长为2.3米的正方形玻璃板通过一个半椭圆拱形门，门的跨度和高如图所示．请问：该正方形玻璃板能否通过该拱门？请说明理由．（玻璃板厚度不计）

4 . 在平面直角坐标系中，已知双曲线经过点，点与点关于原点对称，为上一动点，且异于两点.
(1)求的离心率；
(2)若△的重心为，点，求的最小值；
(3)若△的垂心为，求动点的轨迹方程.

5 . 已知常数，向量，，经过点的直线以为方向向量，经过点的直线以为方向向量，其中．
(1)求点的轨迹方程，并指出轨迹．
(2)当时，点为轨迹与轴正半轴的交点，过点的直线与轨迹交于、两点，直线、分别与直线相交于，两点，试问：是存在定点在以、为直径的圆上？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．

6 . 设点在抛物线上，已知.若，则__________；若，则直线斜率的最小值为__________.

7 . 已知点
(1)若是直线上任一点，求的最小值
(2)若是圆上任一点，求的最小值
(3)若是椭圆上任一点，求的最小值

8 . 过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点是圆上的动点，是抛物线的阿基米德三角形，是抛物线的焦点，且．

   

(1)求抛物线的方程；
(2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；
(3)设是“圆边形”的抛物线弧上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线交阿基米德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明：．

9 . 由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比．已知椭圆：与椭圆：相似．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左、右顶点，的一点．
①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；
②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值．

10 . 已知点，，中恰有两个点在抛物线上．
(1)求的标准方程
(2)若点，在上，且，证明：直线过定点．