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1 . 函数是我们最熟悉的函数之一,它是奇函数,且y轴和直线是它的渐近线,在第一象限和第三象限存在图象,其图象实质是圆锥曲线中的双曲线.(1)函数的图象不仅是中心对称图形,而且还是轴对称图形,求其对称轴l的方程;
(2)若保持原点不动,长度单位不变,只改变坐标轴的方向的坐标系的变换,叫坐标系的旋转,简称转轴.
(i)请采用适当的变换方法,求函数变换后所对应的双曲线标准方程;
(ii)已知函数图象上任一点到平面内定点的距离差的绝对值为定值,以线段为直径的圆与的图象一个交点为,求的面积.
(2)若保持原点不动,长度单位不变,只改变坐标轴的方向的坐标系的变换,叫坐标系的旋转,简称转轴.
(i)请采用适当的变换方法,求函数变换后所对应的双曲线标准方程;
(ii)已知函数图象上任一点到平面内定点的距离差的绝对值为定值,以线段为直径的圆与的图象一个交点为,求的面积.
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33次组卷
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2卷引用:山西省晋城市第一中学校2023-2024学年高二下学期第四次调研考试(5月)数学试题
2 . 阿基米德(公元前287年—公元前212年,古希腊)不仅是著名的哲学家、物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中,椭圆的面积等于,且椭圆的焦距为.点、分别为轴、轴上的定点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点为椭圆上的动点,求三角形面积的最小值,并求此时点坐标;
(3)直线与椭圆交于不同的两点A、B,已知关于轴的对称点为M,B点关于原点的对称点为,已知P、M、N三点共线,试探究直线是否过定点.若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)点为椭圆上的动点,求三角形面积的最小值,并求此时点坐标;
(3)直线与椭圆交于不同的两点A、B,已知关于轴的对称点为M,B点关于原点的对称点为,已知P、M、N三点共线,试探究直线是否过定点.若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
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解题方法
3 . 已知的三个顶点分别为,,.求:
(1)边的中线所在直线的方程;
(2)边的中垂线所在的直线的方程.
(1)边的中线所在直线的方程;
(2)边的中垂线所在的直线的方程.
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4 . 已知的三个顶点的坐标分别是点与,直线.
(1)求边AC所在直线的倾斜角和边AC上的高所在直线的方程;
(2)记为点到直线的距离,试问:是否存在最大值?若存在,求出的最大值:若不存在,说明理由;
(1)求边AC所在直线的倾斜角和边AC上的高所在直线的方程;
(2)记为点到直线的距离,试问:是否存在最大值?若存在,求出的最大值:若不存在,说明理由;
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5 . 五一假期,杭州吴山广场的鸽子吸引了众多游客.热爱摄影的小华计划在广场一角架设一台可转动镜头的相机,希望可以捕捉到鸽子的展翅瞬间.小华设计了一个草图,为简化模型,假设广场形状为正方形,边长为1,已知相机架设于A点处,其可捕捉到图像的角度为,即,其中P,Q分别在边,上,记.(1)设与相交于点R,当时,
(ⅰ)求线段的长;
(ⅱ)求线段的长;
(2)为节省能源,小华计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能,为使相机能够捕捉到的面积(即四边形的面积记为S)最大,应取何值?S的最大值为多少?
(ⅰ)求线段的长;
(ⅱ)求线段的长;
(2)为节省能源,小华计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能,为使相机能够捕捉到的面积(即四边形的面积记为S)最大,应取何值?S的最大值为多少?
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6 . 已知抛物线:,P为第一象限内上的一点,直线l经过点P.
(1)设,若l经过的焦点F,求l与的准线的交点坐标;
(2)设,已知l与x轴负半轴有交点M,l与有P、Q两个交点,若将这三个交点从左至右重新命名为A、B、C,有,求出所有满足条件的l的方程;
(3)设,,已知l是在点P处的切线,过点P作直线m使得,R是m与的另一个交点,求出关于s的表达式,并求的最小值.
(1)设,若l经过的焦点F,求l与的准线的交点坐标;
(2)设,已知l与x轴负半轴有交点M,l与有P、Q两个交点,若将这三个交点从左至右重新命名为A、B、C,有,求出所有满足条件的l的方程;
(3)设,,已知l是在点P处的切线,过点P作直线m使得,R是m与的另一个交点,求出关于s的表达式,并求的最小值.
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2024高三·全国·专题练习
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7 . 已知函数,求的最大值及相应的值.
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8 . 已知、,若动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)若斜率为1的直线与曲线交于,两点,且,求直线的方程.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)若斜率为1的直线与曲线交于,两点,且,求直线的方程.
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9 . 已知点,.
(1)设,若直线与直线垂直,求的值;
(2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程.
(1)设,若直线与直线垂直,求的值;
(2)求过点且与直线夹角的余弦值为的直线方程.
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2024·全国·模拟预测
解题方法
10 . 已知双曲线的离心率为,左、右焦点分别为,第一象限的点为双曲线上一点,若的平分线与轴交于点,且.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)过作直线的垂线,垂足为,若四边形的面积为,的面积为,求的取值范围.
(1)求双曲线的标准方程;
(2)过作直线的垂线,垂足为,若四边形的面积为,的面积为,求的取值范围.
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