1 . 已知函数
，
为
的导数
(1)讨论的单调性；
(2)若
是的极大值点，求
的取值范围；
(3)若
，证明：
．
，为的导数(1)讨论
的单调性；(2)若
是的极大值点，求的取值范围；(3)若
，证明：．
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956次组卷
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4卷引用：山东省枣庄市2024届高三三调数学试题
山东省枣庄市2024届高三三调数学试题山东省青岛市2024届高三下学期第二次适应性检测数学试题（已下线）山东省济南市2024届高三下学期5月适应性考试（三模）数学试题（已下线）专题9 利用放缩法证明不等式【练】
解题方法
2 . 已知函数
.
(1)当
时，证明：
是增函数.
(2)若
恒成立，求的取值范围.
(3)证明：
（
，
）.
.(1)当
时，证明：是增函数.(2)若
恒成立，求的取值范围.(3)证明：
（，）.
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解题方法
3 . 已知双曲线
的一个焦点为
为坐标原点，点
在双曲线上运动，以为直径的圆过点
，且
恒成立，则
的离心率的取值范围为______ ．
的一个焦点为为坐标原点，点在双曲线上运动，以为直径的圆过点，且恒成立，则的离心率的取值范围为
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2024·全国·模拟预测
解题方法
4 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：
，其中
，
为自然对数的底数，
．以上公式称为泰勒公式．设
，
，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)证明：
；
(2)设
，证明：
；
(3)设实数
使得
对
恒成立，求的最大值．
，其中，为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：(1)证明：
；(2)设
，证明：；(3)设实数
使得对恒成立，求的最大值．
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5 . 已知函数 
.
(1)记函数
，求函数
的极大值点;
(2)记函数
，讨论函数
的零点个数.
.(1)记函数
，求函数的极大值点;(2)记函数
，讨论函数的零点个数.
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解题方法
6 . 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，其内容为：如果函数
在闭区间
上的图象连续不断，在开区间
内的导数为
，那么在区间内存在点
，使得
成立．设
，其中
为自然对数的底数，
．易知，在实数集
上有唯一零点
，且
．
时，
；
(2)从图形上看，函数的零点就是函数的图象与
轴交点的横坐标．直接求解的零点是困难的，运用牛顿法，我们可以得到零点的近似解：先用二分法，可在
中选定一个
作为的初始近似值，使得
，然后在点
处作曲线
的切线，切线与轴的交点的横坐标为
，称是的一次近似值；在点
处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为
，称是的二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列
．
①当
时，证明：
；
②根据①的结论，运用数学归纳法可以证得：
为递减数列，且
．请以此为前提条件，证明：
．
在闭区间上的图象连续不断，在开区间内的导数为，那么在区间内存在点，使得成立．设，其中为自然对数的底数，．易知，在实数集上有唯一零点，且．
时，；(2)从图形上看，函数
的零点就是函数的图象与轴交点的横坐标．直接求解的零点是困难的，运用牛顿法，我们可以得到零点的近似解：先用二分法，可在中选定一个作为的初始近似值，使得，然后在点处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的一次近似值；在点处作曲线的切线，切线与轴的交点的横坐标为，称是的二次近似值；重复以上过程，得的近似值序列．①当
时，证明：；②根据①的结论，运用数学归纳法可以证得：
为递减数列，且．请以此为前提条件，证明：．
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名校
解题方法
7 . 帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数
，函数在处的
阶帕德近似定义为：
，且满足：
，
，
，…，
. 已知
在处的
阶帕德近似为
.注：
，
，
，
，…
(1)求实数
的值；
(2)当
时，试比较与
的大小，并证明；
(3)定义数列
：
，
，求证：
.
，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，. 已知在处的阶帕德近似为.注：，，，，…(1)求实数
的值；(2)当
时，试比较与的大小，并证明；(3)定义数列
：，，求证：.
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414次组卷
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2卷引用：浙江省绍兴市上虞区2023-2024学年高三下学期适应性教学质量调测数学试卷
名校
8 . 已知曲线
在点
处的切线为
．
(1)求直线的方程；
(2)证明：除点
外，曲线在直线的下方；
(3)设
，求证：
．
在点处的切线为．(1)求直线
的方程；(2)证明：除点
外，曲线在直线的下方；(3)设
，求证：．
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1120次组卷
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3卷引用：安徽省合肥市2024届高三第二次教学质量检测数学试卷
9 . 设函数
，则下列结论正确的是（ ）
，则下列结论正确的是（ ）A．n为奇数时，在 单调递增 |
B． 为奇数时，在 有一个极值点 |
C．为偶数时，在 单调递增 |
D．为偶数时， 的最小值为0 |
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解题方法
10 . 已知抛物线
的焦点为
，过点且斜率为
的直线与的交点为
.
，求抛物线的方程及焦点的坐标；
(2)若点
为轴正半轴上的任意一点，过点作直线交抛物线于两点，点关于原点的对称点
，连接
交抛物线于点
，求证：
.
的焦点为，过点且斜率为的直线与的交点为.
，求抛物线的方程及焦点的坐标；(2)若点
为轴正半轴上的任意一点，过点作直线交抛物线于两点，点关于原点的对称点，连接交抛物线于点，求证：.
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