解题方法
1 . 如图，在直三棱柱
中，
，
，
为
的中点，
，垂足为
.
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面所成角的正弦值；
(3)求平面
与平面的夹角.
中，，，为的中点，，垂足为.(1)求证：
平面；(2)求直线
与平面所成角的正弦值；(3)求平面
与平面的夹角.
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名校
2 . 已知底面
是正方形，
平面，
，
，点
、
分别为线段
、
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)线段
上是否存在点，使得直线
与平面所成角的正弦值是
，若存在求出
的值，若不存在，说明理由．
是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点．(1)求证：
平面；(2)求平面
与平面夹角的余弦值；(3)线段
上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由．
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2023-03-31更新
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2609次组卷
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11卷引用：天津市南开区南开中学2024届高三上学期统练6数学试题
天津市南开区南开中学2024届高三上学期统练6数学试题天津市十二区重点学校2023届高三下学期毕业班联考(一)数学试题（已下线）专题07立体几何的向量方法天津市耀华中学2024届高三上学期第一次月考数学试题（已下线）天津市耀华中学2024届高三上学期第一次月考数学试题变式题16-20天津市咸水沽第一中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题天津市武清区英华实验学校2023-2024学年高二上学期第三次统练数学试题河南省洛阳市偃师高级中学2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题（已下线）黄金卷04（已下线）专题7.3 空间角与空间中的距离问题【九大题型】天津市西青区杨柳青第一中学2023-2024学年高二下学期第一次质量检测数学试题
解题方法
3 . 如图，直四棱柱
的底面为正方形，P，O分别是上、下底面的中心，E是AB的中点，
.
(1)求证：
平面
；
(2)当
时，求直线
与平面所成角的正弦值；
(3)当k取何值时，O在平面内的射影恰好为
的重心.
的底面为正方形，P，O分别是上、下底面的中心，E是AB的中点，.(1)求证：
平面；(2)当
时，求直线与平面所成角的正弦值；(3)当k取何值时，O在平面
内的射影恰好为的重心.
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名校
解题方法
4 . 如图，在直三棱柱中，
，
，
．
(1)证明：
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求平面与平面
的夹角的余弦值．
中，，，．(1)证明：
；(2)求直线
与平面所成角的正弦值；(3)求平面
与平面的夹角的余弦值．
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2023-02-22更新
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587次组卷
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2卷引用：天津市南开区2022-2023学年高二上学期1月阶段性质量监测数学试题
名校
解题方法
5 . 如图，在多面体
中，底面为正方形，
平面，
平面，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)若
，求
与平面
所成角的正弦值；
(3)若
平面
，求平面与平面夹角的余弦值.
中，底面为正方形，平面，平面，，.(1)求证：
平面；(2)若
，求与平面所成角的正弦值；(3)若
平面，求平面与平面夹角的余弦值.
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2023-01-06更新
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633次组卷
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3卷引用：天津市第九中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题
天津市第九中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题河北省邯郸市魏县2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题（已下线）河北省石家庄市河北省实验中学2024届高三上学期名校联考数学试题变式题19-22
名校
解题方法
6 . 如图，在正方体中，点M，N分别是
，
的中点，则下述结论中正确的个数为（ ）
①
∥平面； ②平面
平面
；
③直线
与
所成的角为
； ④直线与平面
所成的角为．
中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（ ）①
∥平面； ②平面平面；③直线
与所成的角为； ④直线与平面所成的角为．| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
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2022-12-08更新
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1319次组卷
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11卷引用：天津市天津中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题
天津市天津中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题河南省开封市2023届高三第一次模拟考试理科数学试题河南省开封市2023届高三年级第一次模拟考试文科数学试题 （已下线）专题8-2 立体几何中的角和距离问题（含探索性问题）-3（已下线）模块五 空间向量与立体几何-1江西省宜春市丰城市2022-2023学年高二上学期1月期末考试数学试题（已下线）6.3.3空间角的计算（2）河南省信阳高级中学2023届高三下学期开学考试文科数学试题（已下线）1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（第2课时）（已下线）艺体生一轮复习 第七章 立体几何 第36讲 空间向量在立体几何中的应用【练】（已下线）专题01 空间向量与立体几何（2）
解题方法
7 . 已知在直三棱柱中，
，且
分别是
，
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)求平面
与平面
夹角的余弦值.
中，，且分别是，的中点.(1)证明：
平面；(2)求直线
与平面所成角的正弦值；(3)求平面
与平面夹角的余弦值.
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8 . 如图，在多面体中，底面为菱形，
平面，
平面
．
(1)求证：
平面
；(2)求直线
与平面
所成角的正弦值：(3)求平面
和平面的夹角的余弦值．
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2022-11-10更新
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815次组卷
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3卷引用：天津市南开区2022-2023学年高三上学期11月阶段性质量监测(一)数学试题
名校
解题方法
9 . 为方便师生行动，我校正实施翔宇楼电梯加装工程．我们借此构造了以下模型：已知正四棱柱，它抽象自翔宇楼南侧楼心花园所占据的空间，设
，
，O为底面ABCD的中心，正四棱柱
与正四棱柱
分别代表电梯井与电梯厢，设
，M为棱
的中点，N，K分别为棱
，
上的点，
，
．
(1)求证：
平面
；
(2)求直线
与平面所成角的正弦值；
(3)“你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你．明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦．”卞之琳诗句中的情景其实正在我们的生活中反复上演，上官琐艾同学站在楼心花园的中心（O点），她正目送着倚立在电梯厢一角的欧阳南德同学，假定上官同学的目光聚焦于棱OO2的中点I，此时，电梯厢中欧阳同学的目光正徘徊在位于N点的数学办公室与位于K点的数学实验室，当电梯厢向上启动时，在这时空里便诞生了由点O与移动着的平面INK所勾勒的动人风景．现在，请作为“正在看风景的人”的你完成以下问题：当电梯厢自底部（平面OECF与平面ABCD重合）运行至顶端（平面
与平面
重合）的过程中，点O到平面INK距离的最大值．
，它抽象自翔宇楼南侧楼心花园所占据的空间，设，，O为底面ABCD的中心，正四棱柱与正四棱柱分别代表电梯井与电梯厢，设，M为棱的中点，N，K分别为棱，上的点，，．(1)求证：
平面；(2)求直线
与平面所成角的正弦值；(3)“你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你．明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦．”卞之琳诗句中的情景其实正在我们的生活中反复上演，上官琐艾同学站在楼心花园的中心（O点），她正目送着倚立在电梯厢一角的欧阳南德同学，假定上官同学的目光聚焦于棱OO2的中点I，此时，电梯厢中欧阳同学的目光正徘徊在位于N点的数学办公室与位于K点的数学实验室，当电梯厢向上启动时，在这时空里便诞生了由点O与移动着的平面INK所勾勒的动人风景．现在，请作为“正在看风景的人”的你完成以下问题：当电梯厢自底部（平面OECF与平面ABCD重合）运行至顶端（平面
与平面重合）的过程中，点O到平面INK距离的最大值．
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2022-11-06更新
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347次组卷
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4卷引用：天津市南开中学2022-2023学年高二上学期阶段性质量检测(一)数学试题
天津市南开中学2022-2023学年高二上学期阶段性质量检测(一)数学试题1.4空间向量的应用（已下线）期中真题必刷压轴60题（18个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题二 融合科技、社会热点 微点3 融合科技、社会热点等现代文化的立体几何和问题综合训练【培优版】
名校
解题方法
10 . 如图，
平面，
，
，
，
，
.
(1)求证：
平面；
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值；
(3)若二面角
的余弦值为
，求线段
的长.
平面，，，，，.(1)求证：
平面；(2)求直线
与平面所成角的正弦值；(3)若二面角
的余弦值为，求线段的长.
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2022-10-20更新
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565次组卷
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6卷引用：天津市南开中学2023-2024学年高三上学期第五次统练数学试题
天津市南开中学2023-2024学年高三上学期第五次统练数学试题新疆乌鲁木齐市第八中学2023届高三上学期第一次月考数学（理）试题山东省青岛市部分中学2022-2023学年高二上学期12月教学质量检测数学试题广东省人大附中深圳学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题山东省青岛市青岛第二中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题（已下线）第一章 空间向量与立体几何（单元重点综合测试）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第一册）
