1 . 学习了三角形的中位线定理后，小辉进行了拓展性研究．他发现．连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质．探究过程如下：

(1)用直尺和圆规，作线段的垂直平分线，垂足为点，连接，连接并延长交线段的延长线于点（只保留作图痕迹）
(2)已知：在四边形中，，为中点，为中点
猜想：，且．
证明：是中点，①______
，
在和中
，

，
在中，是中点，是中点
且③______．


请你根据该探究过程完成下面命题：
连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④______．

2 . 如图1，已知锐角内接于，P为的内心，连结并延长分别交，于点D，E，连结．

(1)求证：．
(2)若，试求的值．
(3)若将条件“锐角内接于”改为“内接于，为直径”，如图2．过点P作于点F，设的外接圆半径为R，，试问的值是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

4 . 【背景】如图（1），点E，F分别是正方形的边的中点，与相交于点P，连接．同学们在研究图形时，作交CE于点H，发现：．他们通过作三角形的中位线，构造全等三角形，找到与线段相等的线段，得到了多种方法证明成立．
【猜想】（1）若把正方形改成平行四边形，其余条件不变，如图（2），结论是否还成立？请说明理由．
【延伸】（2）在图（2）的条件下连接，那么四边形的面积和的面积有什么关系？请说明理由．

9 . 综合与实践

【模型探究】
（1）如图1，在中，点O为边的中点，作射线于点M，于点N．求证：．
【尝试建构】
（2）如图2，在中，点O为边的中点，点P在边上（不与点B，C，O重合），作射线于点M，于点N．连接．猜想与的数量关系，并证明你的猜想．
【迁移应用】
（3）如图3，在中，点D，E在边上，，作射线于点M，于点N．连接．若，，求的值．

10 . 已知：如图，点在边上（不与点，点重合），在边上（不与点，点重合），连接，，与相交于点，，．
有以下四个结论：
①；
②；
③；
④．

(1)以上四个结论中正确的是      ．（只需填写序号）
(2)请从（1）中任选一个结论进行证明．