1 . 如图,在中,E为边的中点,连接,若的延长线和的延长线相交于F.(1)求证:;
(2)连接,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出与面积相等的三角形.
(2)连接,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出与面积相等的三角形.
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2 . 如图,在菱形中,点M,N分别在上,且.
求证:.
求证:.
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3 . 如图,中,点为的中点.(1)过点作;(尺规作图,并保留作图痕迹,不写作法.)
(2)在线段上任意找一点(不与重合),连接并延长,交于点连接.求证:四边形是平行四边形.
(2)在线段上任意找一点(不与重合),连接并延长,交于点连接.求证:四边形是平行四边形.
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4 . 如图1,锐角内接于,D为的中点,连接并延长交于点E,连接,,过C作的垂线交于点F,点G在上,连接,,若平分且.(1)求的度数.
(2)若,求的值.
(3)如图2,当点O恰好在上且时,求的长.
(2)若,求的值.
(3)如图2,当点O恰好在上且时,求的长.
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5 . 如图,直角坐标系中,点,,线段绕点按顺时针方向旋转得到线段,则点的纵坐标为( )
A.5 | B. | C. | D. |
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6 . 如图,,于点M,D在上,E在上,.(1)若,,求证:;
(2)作于点N,点F是一点,且,
①求证:;
②求的值.
(2)作于点N,点F是一点,且,
①求证:;
②求的值.
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名校
7 . 学习了三角形的中位线定理后,小辉进行了拓展性研究.他发现.连接梯形两腰中点的线段也具有类似的性质.探究过程如下:(1)用直尺和圆规,作线段的垂直平分线,垂足为点,连接,连接并延长交线段的延长线于点(只保留作图痕迹)
(2)已知:在四边形中,,为中点,为中点
猜想:,且.
证明:是中点,①______
,
在和中
,
,
在中,是中点,是中点
且③______.
请你根据该探究过程完成下面命题:
连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④______.
(2)已知:在四边形中,,为中点,为中点
猜想:,且.
证明:是中点,①______
,
在和中
,
,
在中,是中点,是中点
且③______.
请你根据该探究过程完成下面命题:
连接梯形两腰中点的线段平行于两底并且④______.
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8 . 如图1,已知锐角内接于,P为的内心,连结并延长分别交,于点D,E,连结.(1)求证:.
(2)若,试求的值.
(3)若将条件“锐角内接于”改为“内接于,为直径”,如图2.过点P作于点F,设的外接圆半径为R,,试问的值是否是定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
(2)若,试求的值.
(3)若将条件“锐角内接于”改为“内接于,为直径”,如图2.过点P作于点F,设的外接圆半径为R,,试问的值是否是定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.
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9 . 如图,正方形的边长为4,E是的中点,P是上的动点,过点P作,分别交,于点F,G.当取最小值时,则的长是________ .
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10 . 【背景】如图(1),点E,F分别是正方形的边的中点,与相交于点P,连接.同学们在研究图形时,作交CE于点H,发现:.他们通过作三角形的中位线,构造全等三角形,找到与线段相等的线段,得到了多种方法证明成立.
【猜想】(1)若把正方形改成平行四边形,其余条件不变,如图(2),结论是否还成立?请说明理由.
【延伸】(2)在图(2)的条件下连接,那么四边形的面积和的面积有什么关系?请说明理由.
【猜想】(1)若把正方形改成平行四边形,其余条件不变,如图(2),结论是否还成立?请说明理由.
【延伸】(2)在图(2)的条件下连接,那么四边形的面积和的面积有什么关系?请说明理由.
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