1 . 如图中，，平分交于点，以点D为圆心，为半径作交于点．

(1)求证：与相切；
(2)若，，试求的长．

2 . 如图，在正方形中，过点A引射线，交边于点H（点H与点D不重合）．通过翻折，使点B落在射线上的点G处，折痕交于点E，延长交于F．

【感知】如图1，当点H与点C重合时，可得．
【探究】如图2，当点H为边上任意点时，猜想与之间的数量关系，并说明理由．
【应用】在图2中，当时，利用【探究】中的结论，求的长．

3 . 如图，取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：

(1)【探究发现】
第一步：如图1，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平；
第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，连接．根据以上操作，当点M在上时，____________；
(2)【类比应用】
如图2，小李将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，求的度数；
(3)【拓展延伸】
如图3，在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点重合），当时，请直接写出的长．

4 . 如图，在矩形中，，，点为上一点且，将矩形沿折叠，使点与点重合，连接，则的长为______．

5 . 阅读与思考：下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．

×年×月×日   星期日 用等面积法解决问题 周末，我对本学期所学的内容进行了回顾与整理，发现数学中有许多方法是可以互相迁移的． 比如我们在学习整式乘法时，借助如图1所示的边长为的正方形，用两种不同的方法表示这个正方形的面积，可以得到乘法公式 ① ． 再比如学习三角形的内容时，我遇到了同样可以用等面积法解决的问题．如图2，在中，，，，求点到的距离．我们也可以利用等面积法求得点到的距离为 ② ． 总结：等面积法是一种重要的数学解题方法，在解题中，灵活运用等面积法解决相关问题，不仅可以使解题思路清晰，过程简洁，而且还能体现知识间的相互联系．

任务：
(1)请你补全小宇日记中不完整的部分：①__________，②__________．
(2)尺规作图：在图2中作的角平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）．
(3)在（2）的条件下，求线段的长度．

6 . 如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点G，G刚好是边的中点，则的长是（       ）

A．3

B．4

C．4.5

D．5

7 . 已知：如图，在中，，是的角平分线，，垂足为点E，．

(1)求的度数；
(2)如果 ，，求四边形的周长．

8 . 如图，中，是它的角平分线，且，，，垂足分别为．

(1)求证；
(2)如图，把题目中的条件变为中，，是它的角平分线，于点，点在上，连接，且．问是否等于？请证明你的结论．

10 . 如图，点B、F、C、E在同一直线上，、相交于点G，，垂足为B，，垂足为E，且，．
   
(1)求证：；
(2)若，求的度数．