解题方法
1 . 已知
是由正整数组成的无穷数列．设
，其中
，
，这里
表示
这n个数中最大的数， 
表示
中最小的数．
(1)若为
，是一个周期为
的数列（即对任意
，
），写出
，
，
，
的值；
(2)设
是正整数．证明：
（
）的充分必要条件为
是公比为的等比数列；
(3)证明：若
，
（
），则
的项只能是
或者
，且有无穷多项为．
是由正整数组成的无穷数列．设，其中，，这里表示这n个数中最大的数， 表示中最小的数．(1)若
为，是一个周期为的数列（即对任意，），写出，，，的值；(2)设
是正整数．证明：（）的充分必要条件为是公比为的等比数列；(3)证明：若
，（），则的项只能是或者，且有无穷多项为．
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2 . 如果数列
每一项都是正数，且对任意不小于2的正整数n满足
，则称数列具有性质M.
(1)若
､
（p､q､a､b均为正实数），判断数列､
是否具有性质M，并说明理由；
(2)若数列､都具有性质M，
，证明：数列
也具有性质M；
(3)设实数
，方程
的两根为
､
，
，若
对任意正整数n恒成立，求所有满足条件的a.
每一项都是正数，且对任意不小于2的正整数n满足，则称数列具有性质M.(1)若
､（p､q､a､b均为正实数），判断数列､是否具有性质M，并说明理由；(2)若数列
､都具有性质M，，证明：数列也具有性质M；(3)设实数
，方程的两根为､，，若对任意正整数n恒成立，求所有满足条件的a.
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解题方法
3 . 若无穷数列{
}满足如下两个条件，则称{}为无界数列：
①
（n=1，2，3......）
②对任意的正数
，都存在正整数N，使得n>N，都有
.
(1)若
，
（n=1，2，3......），判断数列{}，{
}是否是无界数列；
(2)若，是否存在正整数k，使得对于一切
，都有
成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；
(3)若数列{}是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得
.
}满足如下两个条件，则称{}为无界数列：①
（n=1，2，3......）②对任意的正数
，都存在正整数N，使得n>N，都有.(1)若
，（n=1，2，3......），判断数列{}，{}是否是无界数列；(2)若
，是否存在正整数k，使得对于一切，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；(3)若数列{
}是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得.
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2022-03-31更新
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1089次组卷
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8卷引用：北京市房山区2022届高三一模数学试题
北京市房山区2022届高三一模数学试题（已下线）临考押题卷01-2022年高考数学临考押题卷(北京卷)北京市北师大附属实验中学2021-2022高二下学期数学月考试题（已下线）必刷卷03-2022年高考数学考前信息必刷卷（新高考地区专用）（已下线）重难点08 七种数列数学思想方法-2江苏省盐城市2022-2023学年高三上学期期中复习数学试题北京市第五中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题北京卷专题18数列（解答题）
4 . 如果数列每一项都是正数，且对任意不小于2的正整数
满足，则称数列具有性质
.
(1)若
（
均为正实数），判断数列
是否具有性质；
(2)若数列都具有性质
，证明：数列也具有性质；
(3)设实数，方程的两根为
，若对任意
恒成立，求所有满足条件的
.
每一项都是正数，且对任意不小于2的正整数满足，则称数列具有性质.(1)若
（均为正实数），判断数列是否具有性质；(2)若数列
都具有性质，证明：数列也具有性质；(3)设实数
，方程的两根为，若对任意恒成立，求所有满足条件的.
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解题方法
5 . 设F是椭圆
的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点
（
，2，…），使
，
，
，…组成公差为d的等差数列，求a的取值范围．
的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点（，2，…），使，，，…组成公差为d的等差数列，求a的取值范围．
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6 . 对于函数
，若
，则称为数列的“本源函数”
（1）设数列的“本源函数”为
，且
，
，求实数m的值；
（2）已知数列的“本源函数”为
，，
，在数列中删除数列中的项后，余下的项按原来顺序组成数列，求
；
（3）记
表示不超过实数u的最大整数.若数列的“本源函数”为
，且，
，
为数列的前n项的和.证明：对满足
的任意实数a，b，数列
中有无穷多项属于开区间
.
，若，则称为数列的“本源函数”（1）设数列
的“本源函数”为，且，，求实数m的值；（2）已知数列
的“本源函数”为，，，在数列中删除数列中的项后，余下的项按原来顺序组成数列，求；（3）记
表示不超过实数u的最大整数.若数列的“本源函数”为，且，，为数列的前n项的和.证明：对满足的任意实数a，b，数列中有无穷多项属于开区间.
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解题方法
7 . （1）已知等差数列满足
，且
，若数列
的前项和为，求
的值.
（2）已知数列的前项和
满足
，若
，求
的值.
满足，且，若数列的前项和为，求的值.（2）已知数列
的前项和满足，若，求的值.
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8 . 对于无穷数列
，若正整数
，使得
时，有
，则称为“~不减数列”．
（1）设
为正整数，且
，甲：
为“
~不减数列”．乙：为“
~不减数列”．设判断命题：“甲是乙的充分条件”的真假，并说明理由；
（2）已知函数
与函数
的图像关于直线
对称，数列满足
，如果为“~不减数列”，试求的最小值．
，若正整数，使得时，有，则称为“~不减数列”．（1）设
为正整数，且，甲：为“~不减数列”．乙：为“~不减数列”．设判断命题：“甲是乙的充分条件”的真假，并说明理由；（2）已知函数
与函数的图像关于直线对称，数列满足，如果为“~不减数列”，试求的最小值．
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9 . 已知无穷数列
的首项为
，其前项和为，且
（
），其中
为常数且
．
（1）设
，求数列的通项公式，并求
的值；
（2）设
，
，是否存在正整数
使得数列
中的项
成立？若存在，求出满足条件的所有值；若不存在，请说明理由．
（3）求证：数列中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数
且
，使得
．
的首项为，其前项和为，且（），其中为常数且．（1）设
，求数列的通项公式，并求的值；（2）设
，，是否存在正整数使得数列中的项成立？若存在，求出满足条件的所有值；若不存在，请说明理由．（3）求证：数列
中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数且，使得．
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2020-12-23更新
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379次组卷
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4卷引用：上海市普陀区2021届高三上学期一模数学试题
上海市普陀区2021届高三上学期一模数学试题（已下线）重难点01 数列（基本通项求法）-2021年高考数学【热点·重点·难点】专练（上海专用）上海市奉贤中学2022届高三上学期开学考数学试题（已下线）考向14 等差数列-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）
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解题方法
10 . 已知等比数列的前项和为，
，
，且满足
.
（1）求数列的通项公式；
（2）求无穷数列
的各项和.
的前项和为，，，且满足.（1）求数列
的通项公式；（2）求无穷数列
的各项和.
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