1 . 已知函数
在定义域
上严格单调递增．
(1)证明：函数至多存在一个零点．
(2)若函数存在零点
，证明：存在
，使得
对于任意
恒成立的充分必要条件是
．
在定义域上严格单调递增．(1)证明：函数
至多存在一个零点．(2)若函数
存在零点，证明：存在，使得对于任意恒成立的充分必要条件是．
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解题方法
2 . 已知函数
．
(1)用函数单调性的定义证明在区间
上是严格增函数；
(2)解不等式
．
．(1)用函数单调性的定义证明
在区间上是严格增函数；(2)解不等式
．
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2023-01-04更新
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284次组卷
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5卷引用：北京市海淀区2020-2021学年高一上学期期末练习数学试题
北京市海淀区2020-2021学年高一上学期期末练习数学试题北京市第五十七中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题内蒙古呼和浩特市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题沪教版(2020) 必修第一册 精准辅导 第5章 5.2（3）函数的单调性（1）（已下线）高一上学期期中【夯实基础60题考点专练】（必修一前三章）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）
18-19高一上·北京·期中
名校
解题方法
3 . 给定数集A，若对于任意a，
，有
，
，则称集合A为闭集合.
(1)判断集合
，
是否为闭集合，并给出证明；
(2)若集合C，D为闭集合，则
是否一定为闭集合？请说明理由；
(3)若集合C，D为闭集合，且
，
，证明：
.
，有，，则称集合A为闭集合.(1)判断集合
，是否为闭集合，并给出证明；(2)若集合C，D为闭集合，则
是否一定为闭集合？请说明理由；(3)若集合C，D为闭集合，且
，，证明：.
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2022-08-28更新
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2685次组卷
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16卷引用：北京市第一六一中学2021-2022学年高一上学期期中阶段测试数学试题
北京市第一六一中学2021-2022学年高一上学期期中阶段测试数学试题（已下线）【全国百强校】北京市北京第四中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题（已下线）第一单元 （综合培优）集合与常用逻辑用语 B卷-【双基双测】2021-2022学年高一数学同步单元AB卷（人教A版2019必修第一册）河南省林州市第一中学2021-2022学年高一上学期开学检测（普通班）数学试题（已下线）第一章 集合与常用逻辑用语章末测试（章末测试）-【上好课】2021-2022学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）北京市八一学校2022-2023学年高一上学期10月月考数学试题人教A版(2019) 必修第一册(上) 重难点知识清单 第一章 集合与常用逻辑用语 单元复习测试安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高一上学期10月月考数学试题（已下线）专题1.12 集合与常用逻辑用语 全章综合测试卷-提高篇北师大版(2019) 必修第一册 名校名师卷 专题一 集合与常用逻辑用语2023版 苏教版(2019) 必修第一册 名校名师卷 专题一 集合与常用逻辑用语苏教版(2019) 必修第一册 突围者 第1章 章末培优专练集合新定义题型专练2023版 湘教版(2019) 必修第一册 名师精选卷 第一章 集合与常用逻辑用语湖北省十堰市天河英才高中2022-2023学年高一上学期9月月考数学试题（已下线）专题01 含参数与新定义的集合问题-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019必修第一册）
名校
4 . 设
，集合
，若
个互不相同的非空集合，
同时满足下面两个条件，则称是集合
的“规范
子集组”
①
；
②对任意的
，要么
，要么
中的一个是另一个的子集．
(1)直接写出集合
的一个“规范
子集组”
(2)若
是集合的“规范子集组”，
（ⅰ）求证：中至多有1个集合对
，满足且
；
（ⅱ）求的最大值
，集合，若个互不相同的非空集合，同时满足下面两个条件，则称是集合的“规范子集组”①
；②对任意的
，要么，要么中的一个是另一个的子集．(1)直接写出集合
的一个“规范子集组”(2)若
是集合的“规范子集组”，（ⅰ）求证：
中至多有1个集合对，满足且；（ⅱ）求
的最大值
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名校
解题方法
5 . 已知函数
.
(1)判断并证明函数
的奇偶性；
(2)判断当
时函数的单调性，并用定义证明；
(3)若定义域为
，解不等式
.
.(1)判断并证明函数
的奇偶性；(2)判断当
时函数的单调性，并用定义证明；(3)若
定义域为，解不等式.
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2022-02-18更新
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745次组卷
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27卷引用：北京人大附中2021-2022年高一上学期期中数学试题
北京人大附中2021-2022年高一上学期期中数学试题河北省张家口市宣化第一中学2020-2021学年高二下学期期中数学试题宁夏银川唐徕回民中学2021-2022学年高一10月月考数学试题河南省驻马店市第一高级中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题江苏省扬州市江都区大桥高级中学2021-2022学年高一上学期学情调研(一)数学试题河南省中原名校（即豫南九校）2017-2018学年高一上学期期中联考数学试题1河南省豫南九校2017-2018学年高一上学期期中联考数学试题1河南省中原名校（即豫南九校）2017-2018学年高一上学期期中联考数学试题2河南省豫南九校2017-2018学年高一上学期期中联考数学试题2（已下线）2019年一轮复习讲练测【新课标版理】专题2.3 函数的单调性与最值（测）（已下线）2019年一轮复习讲练测【新课标版文】专题2.4 函数奇偶性与周期性（测）（已下线）2019年一轮复习讲练测【新课标版理】专题2.4 函数奇偶性与周期性（测）（已下线）2019年一轮复习讲练测【新课标版文】专题2.3 函数的单调性与最值（测）江苏省淮安市涟水县第一中学2019-2020学年高一上学期10月阶段性测试数学试题江苏省镇江市扬中高级中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题（已下线）专题1.3函数的基本性质（B卷提升篇)-2020-2021学年高一数学必修一同步单元AB卷(人教A版浙江专用)（已下线）【南昌新东方】江西省南昌十九中2020-2021学年高一上学期10月第一次月考数学试题（已下线）专题3.2+函数的性质（B卷提升篇）-2020-2021学年高一数学必修第一册同步单元AB卷（新教材人教B版）四川省冕宁中学校2020-2021学年高一上期期中考试数学试题江苏省扬州市邗江区2020-2021学年高一上学期11月期中数学试题江苏省扬州市邗江区蒋王中学2020-2021学年高一上学期期中数学试题福建省泰宁第一中学2020-2021学年高一上学期学分认定暨第二次阶段考试数学试题（已下线）专题03 函数的单调性和最值的处理途径-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】宁夏固原市隆德县中学教育集团2023届高三上学期期中考试数学（理）试题河南省郑州市基石中学2022-2023学年高一上学期第二次月考数学试题河南省济源市高级中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题河南省平顶山市蓝天高级中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题
名校
解题方法
6 . 已知函数
.
（1）求
的值和的最小正周期；
（2）求证.当
时，
.
.（1）求
的值和的最小正周期；（2）求证.当
时，.
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2021-10-23更新
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278次组卷
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2卷引用：北京市第一六一中学2022届高三10月月考数学试题
7 . 设集合
．若
，把
中所有元素之和称为的“容量”（规定空集的容量为0）．若的容量为奇（偶）数，则称为
的奇（偶）子集
(1)当
时，列出的所有奇子集和偶子集
(2)求证：的奇子集和偶子集个数相等
(3)当
时，求的所有奇子集的容量之和
．若，把中所有元素之和称为的“容量”（规定空集的容量为0）．若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集(1)当
时，列出的所有奇子集和偶子集(2)求证：
的奇子集和偶子集个数相等(3)当
时，求的所有奇子集的容量之和
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名校
解题方法
8 . 已知函数
.
(1)求证：对于任意的
，总有
；
(2)记函数
在区间
的最大值为
，求的最小值.
.(1)求证：对于任意的
，总有；(2)记函数
在区间的最大值为，求的最小值.
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名校
9 . 以某些整数为元素的集合
具有以下两个性质：
①中的元素有正整数，也有负整数；②若
，则
．
（1）若
，求证：
；
（2）求证：
；
（3）判断集合是有限集还是无限集？请说明理由．
具有以下两个性质：①
中的元素有正整数，也有负整数；②若，则．（1）若
，求证：；（2）求证：
；（3）判断集合
是有限集还是无限集？请说明理由．
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名校
解题方法
10 . 若非零函数对任意实数a，b均有
，且当
时，
.
(1)求证：
；
(2)求证：为减函数；
(3)当
时，解不等式
.
对任意实数a，b均有，且当时，.(1)求证：
；(2)求证：
为减函数；(3)当
时，解不等式.
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