1 . 已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，证明：对任意的，．

2 . 设函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在两个极值点，，证明：．

3 . 设、分别为椭圆的左、右顶点，设是椭圆下顶点，直线与斜率之积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若一动圆的圆心在椭圆上运动，半径为．过原点作动圆的两条切线，分别交椭圆于、两点，试证明为定值．

4 . 已知定点，定直线，动圆过点，且与直线相切.
(1)求动圆的圆心轨迹的方程；
(2)过焦点的直线与抛物线交于两点，与圆交于两点（，在轴同侧），求证：是定值.

5 . 已知抛物线上的点到其准线的距离为5．不过原点的动直线交抛物线C于A，B两点，M是线段AB的中点，点M在准线l上的射影为N．
(1)求抛物线C的方程；
(2)当时，求证：直线AB过定点．

6 . 已知函数.
(1)求函数的单调区间和极值；
(2)当时，求证：.

7 . 已知椭圆E：的左焦点为，离心率.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)椭圆E上在第一象限有一点P的横坐标为，点M､N是椭圆E上异于点P的不重合的两点，且，求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标.

8 . 已知函数，.
(1)求函数的单调区间和最值；
(2)求证：当时；当时，；
(3)若存在，使得，证明.

9 . 动圆P与直线相切，点在动圆上．
(1)求圆心P的轨迹Q的方程；
(2)过点F作曲线O的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN必过定点．

10 . 已知为R上的增函数.
(1)求a；
(2)证明：若，则.