解题方法
1 . 已知双曲线 
的左、右顶点分别为
与 
，点
在 
上，且直线 
与 
的斜率之和为
.
(1)求双曲线的方程;
(2)过点
的直线与 交于 
两点(均异于点
)，直线 
与直线 
交于点
，求证: 
三点共线.
的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 .(1)求双曲线
的方程;(2)过点
的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线.
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解题方法
2 . 已知函数
．
(1)求
在
处的切线方程；
(2)若曲线
与直线
有且仅有一个交点，求
的取值范围；
(3)若曲线在
处的切线与曲线交于另外一点
，求证：
．
．(1)求
在处的切线方程；(2)若曲线
与直线有且仅有一个交点，求的取值范围；(3)若曲线
在处的切线与曲线交于另外一点，求证：．
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名校
3 . 已知函数
．
(1)若恰有两个零点，求a的取值范围；
(2)若的两个零点分别为
（
），求证：
．
．(1)若
恰有两个零点，求a的取值范围；(2)若
的两个零点分别为（），求证：．
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2024-04-01更新
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650次组卷
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5卷引用：山西省怀仁市第一中学校2023-2024学年高三下学期第三次模拟考试数学试题
名校
解题方法
4 . 在平面直角坐标系
中，动点在圆
上，动点在直线
上，过点作垂直于的直线与线段
的垂直平分线交于点
，且
，记的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程.
(2)若直线
与曲线交于
两点，
与曲线交于
两点，其中
，且
同向，直线
交于点
.
（i）证明：点在一条确定的直线上，并求出该直线的方程；
（ii）当
的面积等于
时，试把
表示成
的函数.
中，动点在圆上，动点在直线上，过点作垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点，且，记的轨迹为曲线.(1)求曲线
的方程.(2)若直线
与曲线交于两点，与曲线交于两点，其中，且同向，直线交于点.（i）证明：点
在一条确定的直线上，并求出该直线的方程；（ii）当
的面积等于时，试把表示成的函数.
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2024-04-19更新
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514次组卷
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3卷引用：山西省吕梁市2024届高三下学期4月高考模拟考试数学试题
5 . 已知函数
，其中
为自然对数的底数.
(1)若
对任意的
恒成立，求实数的取值范围；
(2)设
的导数为
，若
，求证：关于
的方程
在区间
上有实数解.
，其中为自然对数的底数.(1)若
对任意的恒成立，求实数的取值范围；(2)设
的导数为，若，求证：关于的方程在区间上有实数解.
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名校
解题方法
6 . 已知双曲线
经过点
，其右焦点为
，且直线
是的一条渐近线.
(1)求的标准方程；
(2)设
是上任意一点，直线
.证明：
与双曲线相切于点；
(3)设直线
与相切于点
，且
，证明：点
在定直线上.
经过点，其右焦点为，且直线是的一条渐近线.(1)求
的标准方程；(2)设
是上任意一点，直线.证明：与双曲线相切于点；(3)设直线
与相切于点，且，证明：点在定直线上.
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2024-03-21更新
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1130次组卷
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3卷引用：2024届山西省高考一模数学试题
名校
7 . 已知函数
，且
与轴相切于坐标原点．
(1)求实数的值及
的最大值；
(2)证明：当
时，
；
(3)判断关于的方程
实数根的个数，并证明．
，且与轴相切于坐标原点．(1)求实数
的值及的最大值；(2)证明：当
时，；(3)判断关于
的方程实数根的个数，并证明．
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2024-03-06更新
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1245次组卷
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3卷引用：山西省2024届高三第二次学业质量评价数学试题
解题方法
8 . 已知抛物线
的焦点为
各顶点均在上，且
．
(1)证明：是
的重心；
(2)能否是等边三角形？并说明理由；
(3)若均在第一象限，且直线
的斜率为
，求的面积．
的焦点为各顶点均在上，且．(1)证明：
是的重心；(2)
能否是等边三角形？并说明理由；(3)若
均在第一象限，且直线的斜率为，求的面积．
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2024-02-27更新
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809次组卷
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4卷引用：山西省部分学校2024届高三下学期一模考试数学试卷
解题方法
9 . 已知椭圆
的焦点是椭圆
的顶点，椭圆
的焦点也是的顶点．
(1)求
的方程；(2)若
，，
三点均在上，且
，直线
，
，
的斜率均存在，证明：直线过定点（用
，
表示）．
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10 . 已知双曲线
的右焦点为
，经过点F的直线l交C于A，B两点．当直线l的斜率为1时，
．
(1)求C的标准方程；
(2)经过点F的直线
交C于P，Q两点，直线
，记AB，PQ的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点．
的右焦点为，经过点F的直线l交C于A，B两点．当直线l的斜率为1时，．(1)求C的标准方程；
(2)经过点F的直线
交C于P，Q两点，直线，记AB，PQ的中点分别为M，N，求证：直线MN过定点．
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