1 . 已知双曲线的右焦点为F，左、右顶点分别为M，N，点是E上一点，且直线PM，PN的斜率之积为．
(1)求的值；
(2)过F且斜率为1的直线l交E于A，B两点，O为坐标原点，C为E上一点，满足，的面积为，求E的方程．

2 . 已知函数．
(1)求的极值；
(2)若过点可以作两条直线与曲线相切，证明：．

3 . 已知函数，为的导函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值．

4 . 已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，设正项数列满足：，
①求证：；
②求证：.

5 . 已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数有两个不同的极值点，求实数的取值范围.

6 . 已知椭圆的左、右顶点分别是，椭圆的焦距是2，（异于）是椭圆上的动点，直线与的斜率之积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)分别是椭圆的左、右焦点，是内切圆的圆心，试问平面上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由.

8 . 已知曲线，求：
(1)的导数；
(2)曲线在点处的切线方程.

9 . 已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程：
(2)直线与曲线交于两点，且交于点，求定点的坐标，使为定值；
(3)过（2）中的点作直线交曲线于两点，且两点均在轴的右侧，直线的斜率分别为，求的值．

10 . 已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若有两个极值点，记过两点的直线的斜率为，是否存在实数，使成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．