1 . 已知抛物线，过焦点的直线l交抛物线C于M、N两点，且线段中点的纵坐标为2．
（1）求直线l的方程；
（2）设x轴上关于y轴对称的两点P、Q，（其中P在Q的右侧），过P的任意一条直线交抛物线C于A、B两点，求证：始终被x轴平分．

2 . 已知过点的动圆与直线相切，该动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）过点的直线交于点，，过点且斜率为的直线与交于异于，的一点，证明：直线过定点.

3 . 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求证：.

4 . 已知函数.
（1）若，求函数的极值；
（2）若，证明：.

5 . 求证：方程与有一个公共实数根的充要条件是.

6 . 已知椭圆：的左焦点为，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知点，过的直线交椭圆于，两点，证明：直线的斜率与直线的斜率之和为定值.

7 . 已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，若的极大值点为，求证：.

8 . 已知函数．
（1）求函数图象在处的切线方程．
（2）证明：．

9 . 已知椭圆：的上顶点与下顶点在直线：的两侧，且点到的距离是到的距离的倍．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设与交于，两点，求证：直线与的斜率之和为定值．

10 . 已知椭圆，双曲线，设椭圆与双曲线有相同的焦点，点，分别为椭圆与双曲线在第一、二象限的交点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与轴相交于点，过点作直线交椭圆于，两点（不同于，），求证：直线与直线的交点在一定直线上运动，并求出该直线的方程．