1 . 已知抛物线 经过点 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 的直线 与抛物线 相交于 两点，求证 为定值．

2 . 已知函数，.
(1)当时，设，求证：；
(2)若恰有两个零点，求的最小整数值.

3 . 已知，函数.
（1）当时，求曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形面积；
（2）若函数有两个极值点，，求证：.

4 . 已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，曲线C是以A、B为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点P在第一象限且在双曲线上，直线AP与椭圆相交于另一点T．
(1)求曲线C的方程；
(2)设点P、T的横坐标分别为x₁，x₂，证明：x₁x₂＝1；
(3)设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S₁与S₂，且，求的取值范围．

5 . 已知动圆过点，并且与圆外切，设动圆的圆心的轨迹为．
(1)求曲线的方程；
(2)过动点作直线与曲线交于，两点，当为的中点时，求的值；
(3)过点的直线与曲线交于，两点，设直线，点，直线交于点，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.

7 . 已知函数.
(1)若恒成立，求实数的取值范围；
(2)证明：.

8 . 动圆P与直线相切，点在动圆上．
(1)求圆心P的轨迹Q的方程；
(2)过点F作曲线O的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N，求证：直线MN必过定点．

9 . 已知函数.
(1)讨论零点的个数；
(2)设m，n为两个不相等的正数，且，证明：.

10 . 已知椭圆：的离心率为，且点为椭圆上一点.
(1)求椭圆的方程.
(2)已知，直线：交椭圆于A，B两点，证明：直线PA斜率与直线PB斜率之积为定值.