1 . 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且，．
   
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面
(3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离．

2 . 如图，在几何体中，底面为边长为2的正方形，平面.

(1)证明：平面 ；
(2)求二面角的大小.

3 . 已知双曲线（，）的左顶点为，过点的动直线l交C于P，Q两点（均不与A重合），当l与x轴垂直时，.
(1)求C的方程；
(2)若直线AP和AQ分别与直线交于点M和N，证明：为定值.

4 . 如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．

   

5 . 如图，在四棱锥中，四边形是边长为3的正方形，平面，，点是棱的中点，点是棱上的一点，且.

   

(1)证明：平面平面；
(2)求平面和平面夹角的大小.

6 . 如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点．
   
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

7 . 如图，已知PA⊥平面，为矩形，，M，N分别为AB，PC的中点，

   

(1)求证：MN平面PAD；
(2)求PD与平面PMC所成角的正弦值.

8 . 如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是等腰梯形，,是棱上一点，且．

(1)证明：平面;
(2)线段上是否存在一点M，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

9 . 如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面底面ABCD，M是PD的中点.
   
(1)求证：平面PCD；
(2)求平面BPD与平面夹角的余弦值.

10 . 如图，在菱形中，，，将沿对角线翻折到位置，连接，构成三棱锥.设直线和直线所成角为.
   
(1)求证：；
(2)当取最小值时，求三棱锥的体积.