1 . 已知平面内动点与点，连线的斜率之积为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于，两点.求证：以为直径的圆恒过定点.

2 . 在平面直角坐标系内，已知点，圆的方程为，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线和直线相交于点.
（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；
（2）过点能否作一条直线，与点的轨迹交于两点，且点为线段的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

3 . 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线被椭圆和圆截得的弦长分别为2和.
（1）求的标准方程；
（2）已知动直线与抛物线：相切（切点异于原点），且与椭圆相交于，两点，问：椭圆上是否存在点，使得，若存在求出满足条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由.

4 . 已知椭圆，过点的两条不同的直线与椭圆E分别相交于A，B和C，D四点，其中A为椭圆E的右顶点.
（1）求以AB为直径的圆的方程；
（2）设以AB为直径的圆和以CD为直径的圆相交于M，N两点，探究直线MN是否经过定点，若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.

5 . 已知椭圆上的点到焦点的最大距离为3，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于不同两点，与轴交于点，且满足，若，求实数的取值范围.

6 . 在直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，，的中点分别为，，的周长为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设的重心为，若，求直线的方程．

7 . 已知点，是椭圆的左，右焦点，椭圆上一点满足轴，，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线交椭圆于两点，当的内切圆面积最大时，求直线的方程.

8 . 如图，圆与轴切于点，与轴正半轴交于两点.点在点的下方，且.

（1）求圆的方程；
（2）过点作一条直线与椭圆相交于两点，连接，求证：.

9 . 设椭圆（）的右焦点为F，右顶点为A，已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若，且，求直线l的斜率的取值范围.

10 . 已知椭圆的离心率为，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点，当直线与轴垂直时，.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当直线与轴不垂直时，在轴上是否存在一点（异于点），使轴上任意点到直线，的距离均相等？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由.