1 . 给定数列，若满足（且），且对于任意的，都有，则称为“指数型数列”．若数列满足：．
(1)判断数列是否为“指数型数列”？若是，给出证明；若不是，请说明理由；
(2)设，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．

2 . 对于给定的数列，如果存在实常数，使得对于任意都成立，我们称数列是“优美数列”．
(1)若，数列是否为“优美数列”？若是，指出它对应的实常数，若不是，请说明理由；
(2)已知数列满足．若数列是“优美数列”，求数列的通项公式．

5 . 如果无穷数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”．
(1)若等比数列的前n项和为，且，，．求证：数列具有“性质P”；
(2)在（1）的条件下，若对任意正整数n恒成立，求实数a的取值范围；
(3)如果各项均为正整数的无穷等比数列具有性质“P”，且、、、四个数中恰有两个出现在中，试求出这两个数的所有可能情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由．

7 . 定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列．
(1)若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由；
(2)若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列；
(3)设数列是各项均为正整数的M数列，求证：．

8 . 如果无穷项的数列满足“对任意正整数，都存在正整数k，使得”，则称数列具有“性质P”．
(1)若数列是等差数列，首项，公差，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由；
(2)若等差数列具有“性质P”，为首项，为公差．求证：且；
(3)若等比数列具有“性质P”，公比为正整数，且这四个数中恰有两个出现在中，问这两个数所有可能的情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由．

9 . 设正整数数列，，，满足，其中.如果存在，3，，，使得数列中任意项的算术平均值均为整数，则称为“阶平衡数列”
(1)判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？
(2)若为偶数，证明：数列，2，3，，不是“阶平衡数列”，其中
(3)如果，且对于任意，数列均为“阶平衡数列”，求数列中所有元素之和的最大值．