1 . 已知数集具有性质P：对任意的i，j（），与两数中至少有一个属于M.
(1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；
(2)证明：，且；
(3)当时，证明：，，，，成等差数列.

2 . 已知数表中的项互不相同，且满足下列条件：①；②.则称这样的数表具有性质.
(1)若数表具有性质，且，写出所有满足条件的数表，并求出的值；
(2)对于具有性质的数表，当取最大值时，求证：存在正整数，使得.

4 . 已知为有穷数列.若对任意的，都有（规定），则称具有性质.设
(1)判断数列，是否具有性质？若具有性质，写出对应的集合；
(2)若具有性质，证明：

6 . 设正整数集合，且 ．若对于任意的 ，当 时，都有 ，则称集合 A 为“子列封闭集合”．
(1)若 ，判断集合 A 是否为“子列封闭集合”，说明理由；
(2)若数列的最大项为，且，证明：集合 A 不是“子列封闭集合”；
(3)设为数列，若 ，且集合 A 为“子列封闭集合”，求数列 的通项公式．

7 . 设数列，即当时，．记．
(1)写出，，，；
(2)令，求数列的通项公式；
(3)对于，定义集合，求集合中元素的个数．

8 . 已知是由非负整数组成的无穷数列．该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，．
(1)若为，是一个周期为的数列（即对任意，），写出，，，的值；
(2)设d是非负整数．证明：（）的充分必要条件为是公差为d的等差数列；
(3)证明：若，（），则的项只能是或者，且有无穷多项为．

9 . 若对于正整数k，表示k的最大奇数因数，例如，
设.
(1)求的值；
(2)求，，的值；
(3)求数列{}的通项公式.

10 . 给定项数为的数列，其中.若存在一个正整数，若数列中存在连续的项和该数列中另一个连续的项恰好按次序对应相等，则称数列是“阶可重复数列”，例如数列.因为与按次序对应相等，所以数列是“4阶可重复数列”.
(1)分别判断下列数列
①.
②.
是否是“5阶可重复数列”？如果是，请写出重复的这5项；
(2)若项数为的数列一定是“3阶可重复数列”，则的最小值是多少？说明理由；
(3)假设数列不是“5阶可重复数列”，若在其最后一项后再添加一项0或1，均可使新数列是“5阶可重复数列”，且，求数列的最后一项的值.