1 . 二面角为为线段的三等分点，且，到的距离为.若为平面内一动点，则最大时，的值为__________.

2 . 2023年五一劳动节前夕，某公司为全体员工发放奖励，奖励拟采用抽签方式发放：每位员工分别从标有不同面值的4张卡片中随机取出2张，2张卡片上的面值之和即为该员工的奖励金额．
(1)若4张卡片上的面值分别为100元，100元，300元，500元．
①求每位员工所获得的奖励金额不低于500元的概率；
②记每位员工所获得的奖励金额为X元，求X的分布列与期望；
(2)你能否设计一种抽签方案，使得4张卡片上的面值分别为100元，200元，300元，400元，500元中的3个，且每位员工所获得的奖励金额的期望值不变，且奖励金额相对均衡（只需给出一种方案并说明理由即可，不需要判断是否还有其他方案）．

3 . 已知函数，则下列结论正确的是（       ）

A．当时，有两个零点

B．当时，有两个零点

C．若有一个零点，则或

D．当时，有三个零点

4 . 设是不重合的两个平面，分别为平面的法向量，为直线的方向向量，则下列结论错误的是（       ）

A．	B．
C．	D．

5 . 流感病毒分为甲、乙、丙、丁4个家族，其中甲型流感最为常见，每年季节性流行.2023年3月初，某地区甲型流感进入高发期，调查数据显示，该地区小学生、初中生、高中生感染甲型流感的比例分别为.
(1)若从该地区小学生与初中生中各随机抽取1人，求这2人中至多有一人感染甲型流感的概率；
(2)若该地区小学生、初中生、高中生人数之比为，现从该地区小学生、初中生及高中生中随机地抽取1人，求该生感染甲型流感的概率.

6 . 已知某学校高一年级成立了书法社团和吉他乐队社团．其中书法社团有男生4人，女生6人；吉他乐队社团有男生8人，女生4人．若从这两个社团中随机取一个社团，再从该社团中随机选取一人在高一年级新生入学大会上发言，则该同学是女生的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 已知高二某班有60名学生，在2022-2023学年下学期期中考试中，语文及格的学生有50名，数学及格的学生有45名，语文与数学都不及格的学生有5名，从该班中任取1名学生，若该学生数学及格，则该学生语文也及格的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.若的内角的对应边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为
(1)用“三斜求积”公式证明；
(2)若，且，求面积的最大值；
(3)定义：四面体中，若异面棱长相等的四面体为等腰四面体.设等腰四面体的外接球表面积为的外接圆面积为.已知，且，，试用表示，并求的取值范围.

9 . 在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，.模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7.已知选择模型，，的概率分别为，，.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为（       ）

A．0.56

B．0.66

C．0.76

D．0.86

10 . 定义：对于空间向量，，其“导数积”为.已知空间向量，为常数，记.
(1)当时，证明：；
(2)若为的极大值点，求正实数的取值范围；
(3)设，，，且满足，，证明：.