1 . 坐标平面上的点也可表示为，其中为轴非负半轴绕原点逆时针旋转到与OP重合的旋转角.将点绕原点逆时针旋转后得到点，这个过程称之为旋转变换.
(1)证明旋转变换公式：并利用该公式，求点绕原点逆时针旋转后的点的坐标；
(2)旋转变换建立了平面上的每个点到的对应关系.利用旋转变换，可将曲线通过旋转转化为我们熟悉的曲线进行研究.
（i）求将曲线绕原点顺时针旋转后得到的曲线方程，并求该曲线的离心率；
（ii）已知曲线，点，直线AB交曲线于，两点，作的外角平分线交直线AB于点，求|FM|的最小值.

2 . 我们知道，利用导数证明基本不等式：

(1)；
(2).

3 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：其中为自然对数的底数，.以上公式称为泰勒公式.设，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题.
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设，若是的极小值点，求实数的取值范围.

4 . 甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为．
(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和期望；
(2)证明：数列为等比数列．

5 . 若时，函数取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知函数，其中为正实数.
(1)若函数有极值点，求的取值范围；
(2)当和的几何平均数为，算术平均数为.
①判断与和的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；
②当时，证明：.

6 . 已知，，动点满足，轴于点，，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)直线交曲线于，两点，直线交曲线于，两点，直线交轴于点，轴，证明：.

7 . 如图，在中，为边上一点，且．

(1)设，求实数、的值；
(2)若，求的值；
(3)设点满足，求证：．

8 . 如图，已知等腰梯形的外接圆半径为2，，点是上半圆上的动点（不包含两点），点是线段上的动点，将半圆所在的平面沿直径折起使得平面平面.

(1)求三棱锥体积的最大值；
(2)当平面时，求的值；
(3)设与平面所成的角为，二面角的平面角为.求证：.

9 . 甲、乙两地教育部门到某师范大学实施“优才招聘计划”，即通过对毕业生进行笔试，面试，模拟课堂考核这3项程序后直接签约一批优秀毕业生，已知3项程序分别由3个考核组独立依次考核，当3项程序均通过后即可签约．去年，该校数学系130名毕业生参加甲地教育部门“优才招聘计划”的具体情况如下表（不存在通过3项程序考核放弃签约的情况）．

性别                    人数	参加考核但未能签约的人数	参加考核并能签约的人数
男生	45	15
女生	60	10

今年，该校数学系毕业生小明准备参加两地的“优才招聘计划”，假定他参加各程序的结果相互不影响，且他的辅导员作出较客观的估计：小明通过甲地的每项程序的概率均为，通过乙地的各项程序的概率依次为，，m，其中0＜m＜1．
(1)判断是否有90%的把握认为这130名毕业生去年参加甲地教育部门“优才招聘计划”能否签约与性别有关；
(2)若小明能与甲、乙两地签约分别记为事件A，B，他通过甲、乙两地的程序的项数分别记为X，Y．当E（X）＞E（Y）时，证明：P（A）＞P（B）．
参考公式与临界值表：，n＝a＋b＋c＋d．

	0.10	0.05	0.025	0.010
k	2.706	3.841	5.024	6.635

10 . 200多年前，10岁的高斯充分利用数字1，2，3，，100的“对称”特征，给出了计算的快捷方法．教材示范了根据高斯算法的启示推导等差数列的前项和公式的过程．事实上，高斯算法的依据是：若函数的图象关于点对称，则对恒成立．已知函数．
(1)求的值；
(2)设，，记数列的前项和为，求证．