1 . 已知数列的前项和为，．
(1)求的值；
(2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；
(3)数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？（结论不要求证明）．

2 . 已知椭圆C:的离心率为长轴的右端点为.
(1)求C的方程；
(2)不经过点A的直线与椭圆C分别相交于两点，且以MN为直径的圆过点，
①试证明直线过一定点，并求出此定点；
②从点作垂足为，点写出的最小值（结论不要求证明）.

3 . 对任意正整数n，记集合，．，，若对任意都有，则记．
(1)写出集合和；
(2)证明：对任意，存在，使得；
(3)设集合．求证：中的元素个数是完全平方数．

4 . 已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求证：当时，；
(3)对任意的，判断与的大小关系，并证明结论．

5 . 设A为非空集合，令，则的任意子集R都叫做从A到A的一个关系(Relation)，简称A上的关系．例如时，{0，2}，，，{(0，0)，(2，1)}等都是A上的关系．设R为非空集合A上的关系．给出如下定义：
①(自反性)若，有，则称R在A上是自反的；
②(对称性)若，有，则称R在A上是对称的；
③(传递性)若，有，则称R在A上是传递的；
如果R同时满足这3条性质，则称R为A上的等价关系．
(1)已知，按要求填空：
①用列举法写出______________________；
②A上的关系有____________个(用数值做答)；
③用列举法写出A上的所有等价关系：{(0，0)，(1，1)，(2，2)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，2)，(2，0)}，_______________，_______________，共5个．
(2)设和是某个非空集合A上的关系，证明：
①若，是自反的和对称的，则也是自反的和对称的；
②若，是传递的，则也是传递的．
(3)若给定的集合A有n个元素()，，，．．．，为A的非空子集，满足且两两交集为空集．求证：为A上的等价关系．

6 . 对于正整数集合A＝{a₁，a₂，…，a_n}（n∈N^*，n≥3），如果去掉其中任意一元素a_i（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“平衡集”．
（Ⅰ）判断集合Q＝{1，3，5，7，9}是否是“平衡集”并说明理由；
（Ⅱ）求证：若集合A是“平衡集”，则集合A中元素的奇偶性都相同；
（Ⅲ）证明：四元集合A＝{a₁，a₂，a₃，a₄}，其中，a₁＜a₂＜a₃＜a₄不可能是“平衡集”．

7 . 已知函数.
（1）求证：当时，；
（2）设斜率为的直线与曲线交于两点，证明：.

8 . 若有穷数列满足且对任意的，至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质
（1）判断数列1，2，4，8是否具有性质P，并说明理由；
（2）设项数为的数列具有性质，求证：；
（3）若项数为的数列具有性质，写出一个当时，不是等差数列的例子，并证明当时，数列是等差数列

9 . 已知M是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意，①方程有实数根；②函数的导数满足.
（1）判断函数是集合M中的元素，并说明理由；
（2）集合M中的元素具有下面的性质：若的定义域为D，则对于任意，都存在，使得等式成立.试用这一性质证明：方程有且只有一个实数根；
（3）对任意，且，求证：对于定义域中任意的，，，当，且时，.

10 . 已知函数的零点是，．
（1）求；
（2）求证：对任意，；
（3）若对任意，恒成立，写出的最小值（不需证明）．