1 . 已知数列{a_n}满足a₁＝2，（n∈N^*）.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）比较与的大小，并用数学归纳法证明；
（3）设，数列{b_n}的前n项和为T_n，若T_n＜m对任意n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围.

2 . 在数列中，，
（Ⅰ）求，判断数列的单调性并证明；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）是否存在常数，对任意，有？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

3 . 已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）对于曲线上的不同两点，如果存在曲线上的点，且使得曲线在点处的切线，则称为弦的伴随直线，特别地，当时，又称为的—伴随直线．
①求证：曲线的任意一条弦均有伴随直线，并且伴随直线是唯一的；
②是否存在曲线，使得曲线的任意一条弦均有—伴随直线？若存在，给出一条这样的曲线，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

4 . 已知为双曲线上异于左、右顶点的一个动点，双曲线的左、右焦点分别为，且．当时，的最小内角为．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)连接，交双曲线于另一点，连接，交双曲线于另一点，若．
①求证：为定值；
②若直线AB​的斜率为−1​，求点P​的坐标．

5 . 已知函数 .
(1)求函数 的最小值；
(2)若直线 是曲线 的切线，求 的最小值；
(3)证明：.

6 . 已知数列满足，.证明：
(1)；
(2)

7 . 已知函数为自然对数的底数
(1)当时，求函数的最大值；
(2)已知，且满足，求证：.

8 . 已知椭圆的左右顶点分别为，上顶点为为椭圆上异于四个顶点的任意一点，直线交于点，直线交轴于点.

(1)求面积的最大值；
(2)记直线的斜率分别为，求证：为定值.

9 . 已知函数 ，.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)当时，，记函数在上的最大值为，证明：．

10 . 已知．
(1)若，且对任意恒成立，求a的范围；
(2)当时，求证：．