1 . 已知函数
．
（Ⅰ）若关于x的不等式
恒成立，求m的取值范围；
（Ⅱ）若
，方程
的较小的实根为
证明函数
在
上单调递减；
（Ⅲ）若
，且函数
的较大零点为
，求证：
．
．（Ⅰ）若关于x的不等式
恒成立，求m的取值范围；（Ⅱ）若
，方程的较小的实根为证明函数在上单调递减；（Ⅲ）若
，且函数的较大零点为，求证：．
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2 . 已知椭圆
，过右焦点
的直线
交
于
，
两点，过点与垂直的直线交于
，
两点，其中，在
轴上方，
，
分别为
，
的中点．当
轴时，
，椭圆的离心率为
．的标准方程；
(2)证明：直线
过定点，并求定点坐标；
(3)设
为直线
与直线
的交点，求
面积的最小值．
，过右焦点的直线交于，两点，过点与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，，分别为，的中点．当轴时，，椭圆的离心率为．
的标准方程；(2)证明：直线
过定点，并求定点坐标；(3)设
为直线与直线的交点，求面积的最小值．
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3 . 数学中的数，除了实数、复数之外，还有四元数．四元数在计算机图形学中有广泛应用，主要用于描述空间中的旋转．集合
中的元素
称为四元数，其中i,j,k都是虚数单位，d称为
的实部，
称为的虚部．两个四元数之间的加法定义为
．
两个四元数的乘法定义为：
,四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律．对于四元数，若存在四元数
使得
，称是的逆，记为
．实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为W．
(1)设
,四元数．记
表示的共轭四元数．
（i）计算
；
（ii）若
，求
；
（iii）若
，证明：
；
(2)在空间直角坐标系中，把空间向量
与纯四元数
看作同一个数学对象．设
．
（i）证明：
;
（ii）若
是平面X内的两个不共线向量，证明：
是X的一个法向量．
中的元素称为四元数，其中i,j,k都是虚数单位，d称为的实部，称为的虚部．两个四元数之间的加法定义为．两个四元数的乘法定义为：
,四元数的乘法具有结合律，且乘法对加法有分配律．对于四元数，若存在四元数使得，称是的逆，记为．实部为0的四元数称为纯四元数，把纯四元数的全体记为W．(1)设
,四元数．记表示的共轭四元数．（i）计算
；（ii）若
，求；（iii）若
，证明：；(2)在空间直角坐标系中，把空间向量
与纯四元数看作同一个数学对象．设．（i）证明：
;（ii）若
是平面X内的两个不共线向量，证明：是X的一个法向量．
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解题方法
4 . 如图，四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
，
，在锐角
中，
，点在
上，
.
(1)求证：
平面
；
(2)若
与平面
所成的角为
，求二面角
的正切值.
中，底面为直角梯形，，，，，在锐角中，，点在上，. (1)求证：
平面；(2)若
与平面所成的角为，求二面角的正切值.
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5 . 如图1，在直角三角形
中，
为直角，
在上，且
，作
于
，将
沿直线折起到
所处的位置，连接
，如图2.
(1)若平面
平面
，求证:
；
(2)若二面角
为锐角，且二面角
的正切值为
，求
的长.
中，为直角，在上，且，作于，将沿直线折起到所处的位置，连接，如图2.(1)若平面
平面，求证:；(2)若二面角
为锐角，且二面角的正切值为，求的长.
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2022-12-16更新
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1851次组卷
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7卷引用：浙江省丽水市青田县船寮高级中学2021-2022学年高一下学期第二次月考数学试题
浙江省丽水市青田县船寮高级中学2021-2022学年高一下学期第二次月考数学试题广东省深圳市高级中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题浙江金华第一中学2022-2023学年高三下学期3月月考数学试题（已下线）专题10 空间角、距离的计算-期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）安徽省马鞍山市红星中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试卷湖北省武汉市第十一中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题（已下线）专题3 由二面角求线段长问题（解答题一题多解）
6 . 已知数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，数列
满足：
，
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)（i）若
，记
，求数列
的前
项和
；
（ii）若
，证明：
．
是以为首项，为公比的等比数列，数列满足：，，．(1)求数列
的通项公式；(2)（i）若
，记，求数列的前项和；（ii）若
，证明：．
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7 . 已知抛物线
，过抛物线上第一象限的点A作抛物线的切线，与x轴交于点M．过M作
的垂线，交抛物线于B，C两点，交于点D．
（1）求证：直线
过定点；
（2）若
，求
的最小值．
，过抛物线上第一象限的点A作抛物线的切线，与x轴交于点M．过M作的垂线，交抛物线于B，C两点，交于点D．（1）求证：直线
过定点；（2）若
，求的最小值．
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8 . 已知函数f（x）＝lnx+a（x2﹣1）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a
，x∈[1，+∞）时，证明：f（x）≤（x﹣1）ex．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a
，x∈[1，+∞）时，证明：f（x）≤（x﹣1）ex．
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2020-03-16更新
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298次组卷
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3卷引用：浙江省丽水市五校2019-2020学年高二下学期3月联考数学试题
解题方法
9 . 已知函数
，
（1）当
时，若
且
，证明：
；
（2）当
时，若
恒成立，求
的最大值.
，（1）当
时，若且，证明：；（2）当
时，若恒成立，求的最大值.
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10 . 已知数列，
.
(1)记
，证明:是等比数列；
(2)当
是奇数时，证明:
；
(3)证明:
.
，.(1)记
，证明:是等比数列；(2)当
是奇数时，证明:；(3)证明:
.
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