1 . 已知.
（1）若，函数在其定义域内是增函数，求的取值范围；
（2）当，时，证明：函数只有一个零点；
（3）若的图像与轴交于，两点，中点为，求证：.

2 . 已知函数，求证：当时，．

3 . 已知椭圆，右焦点，直线，过右焦点的直线(不与轴重合)与椭圆交于两点，过点作，垂足为.
(1)求证：直线 过定点，并求出定点的坐标；
(2)点为坐标原点，求面积的最大值.

4 . 已知椭圆C：（）的离心率为，点A，B分别是椭圆C的上，下顶点，且．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点且斜率为k的直线l交椭圆C于E，G两点，设直线AE与直线交于点H，点H是否在直线BG上？若是，请证明之，若不是，请说明理由．

5 . 甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第（）次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为，在丙手中的方法数为.
(1)求证：数列为等比数列，并求出的通项；
(2)求证：当n为偶数时，.

6 . 我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“@未来坐标系”如图所示，，两分别为，正方向上的单位向量若向量，则把实数对叫做向量的“@未来坐标”，记，已知分别为向量的@未来坐标．
   
(1)证明：
(2)若向量的“@未来坐标”分别为，已知，，求函数的最值．

7 . 已知圆和定点，动点在圆上．
(1)过点作圆的切线，求切线方程；
(2)若满足，求证：直线过定点．

8 . 已知函数.
(1)设，若在上恒成立，求实数的取值范围；
(2)设，若存在正实数，满足，证明：.

9 . 设函数，其中，．
(1)若，且在区间单调递减，在区间单调递增，求t的最小值；
(2)证明：对任意正数a，b，仅存在唯一零点．

10 . 已知函数
(1)若在定义域上单调递增，求实数m的取值范围；
(2)当时，对于函数，满足方程有两个不同的实数根，求证：.