1 . 已知函数，．
(1)当时，求证：；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围；
(3)已知，证明：．

2 . 在中，角的对边分别为.
（1）求证：中至少有一个角大于或等于；
（2）若角成等差数列，证明.

3 . 已知函数，其中为非零常数.
（1）讨论的极值点个数，并说明理由；
（2）若，
①证明：在区间内有且仅有个零点；
②设为的极值点，为的零点，且，求证：.

4 . 数列满足：
（Ⅰ）写出，猜想通项公式，用数学归纳法证明你的猜想；
（Ⅱ）求证：．

5 . 已知函数．
(1)讨论在上的单调性；
(2)证明：

6 . 在平面直角坐标系中，已知点，直线：，点在直线上移动，是线段与轴的交点，动点满足：，．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线交轨迹于，两点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与轨迹的另一交点为，的中点为，证明：，，三点共线．

7 . 已知函数有两个零点.
(1)求的取值范围；
(2)设，是的两个零点，，证明：.

8 . 已知椭圆的离心率为，直线过的上顶点与右顶点且与圆相切．

(1)求的方程．
(2)过上一点作圆的两条切线，（均不与坐标轴垂直），，与的另一个交点分别为，．证明：

①直线，的斜率之积为定值；

②．

9 . 已知函数.
(1)若在上单调递减，求的取值范围；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若方程两个不同的实数根分别为，，求证：.

10 . 已知椭圆经过点，且其右焦点为，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
(3)过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点．