1 . 已知实数R的子集均满足规律：，已知数集具有性质P：对任意的，与 两数中至少有一个属于A（如与中至少有一个属于A）.
(1)求证：集合不可能为单元素集；
(2)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；
(3)数集A中的_____集合（选填“”或“”），请写出一个自然数：________，使其不可能属于集合；
(4)证明：.

2 . 已知点为圆上任意一点，，线段的垂直平分线交直线于点 ，设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若过点的直线与曲线的两条渐近线交于，两点，且为线段ST的中点.
（i）证明：直线与曲线有且仅有一个交点；
（ii） 求证：是定值.

3 . 如图，点为抛物线外任意一点，过点作抛物线两条切线分别切于两点，的中点为，直线交抛物线于点．

(1)证明：（为直线在轴上的截距），且直线方程为；
(2)设点处的切线，求证．

4 . 代数式化简中常用到“配、凑、拆”等技巧，例如可以通过拆角转化为，这种技巧在一些三角函数化简问题中常被使用．已知在，角的对边分别为．

(1)证明：；
(2)求角的大小；
(3)若点是边（不包含端点）上的一动点，过点向直线作垂线，垂足为，已知，求证：．

5 . 定义:表示的整数部分，表示的小数部分，例如.数列满足其中.若存在，使得当时，恒成立，则称数为木来数.
(1)分别写出当时的值.
(2)证明:是木来数
(3)若为大于1的有理数.且.求证:为木来数

6 . 定义：若函数与的图象在上有且仅有一个交点，则称函数与在上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数，，.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，
（i）求证：函数与在上存在“单交点”；
（ⅱ）对于（i）中的正数，证明：.

7 . 类比于二维空间（即平面），向量可用二元有序数组表示，若维空间向量用元有序数组表示，记为，，且维空间向量满足.
(1)当，求.
(2)证明：；
(3)若是正实数，且满足，求证：.

8 . 已知两个非零向量，，将向量绕着它的起点沿逆时针方向旋转（）弧度后，其方向与向量的方向相同，则叫做向量到的角．已知非零向量到的角为，数量叫做向量与的运算，记作，即．根据此定义，不难证明以下性质：
①；
②；
③．
(1)利用以上性质证明：；
(2)设到的角为，定义．当时，则表示△OAB面积；当时，则表示△OAB面积的相反数．利用上述定义和性质证明：
①如图，四边形ABCD的两边AD，BC延长相交于点E，对角线AC，BD的中点为F，G，求证：四边形ABCD的面积等于△EFG的面积的4倍；

②在平面直角坐标系中，记向量，，△ABC各顶点坐标分别为，，，求证：△ABC面积为．

9 . 在三棱锥中，，点P在平面ABC内的投影为H，连接AH．

(1)如图1，证明：；
(2)如图2，记，直线AP与平面ABC的夹角为，，求证：，并比较和的大小；
(3)如图3，已知，M为平面PBC内一点，且，求异面直线AM与直线BC夹角的最小值．

10 . 已知函数，，.
(1)证明：存在直线与的图象相切且有无穷多个切点.
(2)当时，设的极大值点从小到大依次为，记，求证：数列为减数列.
(3)判断在上的零点个数.