1 . 对于数列，定义：如果函数使得数列的前项和小于，则称数列是“控制数列”.
(1)设，证明：存在，使得等差数列是“控制数列”；
(2)设，判断数列是否为“控制数列”，并说明理由；
(3)仿照上述定义，我们还可以定义：如果存在实数使得数列的前项积小于，则称数列是“特控数列”.设，其中，证明：数列是“特控数列”.

2 . 若数列满足如下两个条件：①和恰有一个成立；②.就称数列为“中项随机变动数列”.已知数列为“中项随机变动数列”，
(1)若，求的可能取值；
(2)已知的解集为，求证：成等比数列；
(3)若数列前3项均为正项，且的解集为，设的最大值为，求的最大值.

3 . 对于数列把a₁作为新数列的第一项，把a₁或作为新数列的第ⅰ项，数列称为数列的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是．已知数列为数列的生成数列，为数列的前n项和．
(1)写出的所有可能值；
(2)若生成数列满足，求数列的通项公式；
(3)证明：对于给定的的所有可能值组成的集合为．

4 . 蓝莓种植技术获得突破性进展，喷洒A型营养药有--定的改良蓝莓植株基因的作用，能使蓝莓果的产量和营养价值获得较大提升．某基地每次喷洒A型营养药后，可以使植株中的80%获得基因改良，经过三次喷洒后没有改良基因的植株将会被淘汰，重新种植新的植株．
(1)经过三次喷洒后，从该基地的所有植株中随机检测一株，求-株植株能获得基因改良的概率；
(2)从该基地多个种植区域随机选取-一个，记为甲区域，在甲区域第一次喷洒A型营养药后，对全部N株植株检测发现有162株获得了基因改良，请求出甲区域种植总数N的最大可能值；
(3)该基地喷洒三次A型营养药后，对植株进行分组检测，以淘汰改良失败的植株，每组n株，一株检测费为10元，n株混合后的检测费用为元，若混合后检测出有未改良成功的，还需逐一检测，求n的估计值，使每株检测的平均费用最小，并求出最小值．（结果精确到0.1元）

5 . 已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为为坐标原点.

(1)求双曲线的标准方程；
(2)直线与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点.
证明：①共线；
②为定值.

6 . 在表面积为的球O的球面上存在A，B，C三点，且，，E为线段OC的中点，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．异面直线与成角余弦值的最小值为

C．若点O到平面的距离为，则异面直线与间的距离为

D．若点O到平面的距离为，则三棱锥外接球的表面积与球O表面积之比为

7 . 已知，函数在点处的切线均经过坐标原点，则（     ）

A．

B．

C．

D．

8 . 椭圆的左右焦点分别为，若P，Q为椭圆C上两点，命题p：椭圆C的离心率．则下列说法正确的是（       ）

A．命题a：到定直线的距离与的比值为定值，则命题a是命题p的充要条件．

B．命题b：的最大值等于，则命题b是命题p的必要不充分条件．

C．命题c：，中点的横坐标最大值为，则命题c是命题p的充分条件．

D．命题d：，的垂直平分线交x轴于T，，则命题d是命题p的必要条件．

9 . 棱长为10cm的密闭正四面体容器内装有体积为的水，翻转容器，使得水面至少与2条棱平行，且水面是三角形，不考虑容器厚度及其它因素影响，则水面面积的最小值为______.

10 . 若有穷数列满足：，则称此数列具有性质.
(1)若数列具有性质，求的值；
(2)设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列；
(3)把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在.