1 . 已知
是各项均为正整数的无穷递增数列，对于
，定义集合
，设
为集合
中元素的个数，若
时，规定
.
（1）若
，则
______ ；
（2）若数列
是等差数列，则数列的前50项之和为______ .
是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中元素的个数，若时，规定.（1）若
，则（2）若数列
是等差数列，则数列的前50项之和为
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名校
解题方法
2 . 已知平行六面体
的棱长均为1，
分别是棱
和
的中点，
是
上的动点，则下列说法正确的是（ ）
的棱长均为1，分别是棱和的中点，是上的动点，则下列说法正确的是（ ）A． |
B．若 ，则 ∥面 |
C．若 ，则 面 |
D．若 是线段 的中点， 是线段 上的动点，则 的最小值是 |
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2024-09-05更新
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209次组卷
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2卷引用：湖南省长沙市望城区第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题
3 . 已知函数
，
．
(1)若
在
处取得极值，讨论的单调性；
(2)设曲线
在点
处的切线为
，证明：除点外，曲线段
总在的下方；
(3)设
，证明：
．
，．(1)若
在处取得极值，讨论的单调性；(2)设曲线
在点处的切线为，证明：除点外，曲线段总在的下方；(3)设
，证明：．
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4 . 角谷猜想，也称为“
”猜想.其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以2；如果是奇数，则将它乘以3再加上1，如此反复运算，该数最终将变为1.这就是对一个正整数运算时“万数归1”现象的猜想.假如对任意正整数
，按照上述规则实施第1次运算后的结果记为
，实施第2次运算后的结果记为
，…，实施第
次运算后的结果记为
，实施第n次运算后得到数1，停止运算，便可以得到有穷数列
，1，其递推关系式为：
叫做数列的原始项.将此递推关系式推广为：
（
，且
），其它规则不变，得到的数列记作
数列，试解答以下问题：
(1)若
，则数列
的项数为______；
(2)求
数列的原始项
的所有可能取值构成的集合；
(3)若对任意的
数列，均有
，求d的最小值.
”猜想.其内容是：任取一个正整数，如果是偶数，将它除以2；如果是奇数，则将它乘以3再加上1，如此反复运算，该数最终将变为1.这就是对一个正整数运算时“万数归1”现象的猜想.假如对任意正整数，按照上述规则实施第1次运算后的结果记为，实施第2次运算后的结果记为，…，实施第次运算后的结果记为，实施第n次运算后得到数1，停止运算，便可以得到有穷数列，1，其递推关系式为：叫做数列的原始项.将此递推关系式推广为：（，且），其它规则不变，得到的数列记作数列，试解答以下问题：(1)若
，则数列的项数为______；(2)求
数列的原始项的所有可能取值构成的集合；(3)若对任意的
数列，均有，求d的最小值.
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5 . 已知函数
.
(1)若
（e为自然对数的底数），求函数
的极值；
(2)若
，函数
有两个零点
，且不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
.(1)若
（e为自然对数的底数），求函数的极值；(2)若
，函数有两个零点，且不等式恒成立，求实数的取值范围.
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6 . 在直三棱柱
中，
，
，
，点是平面
上的动点．在线段
上（不包括端点），设
为异面直线
与
所成角，求
的取值范围；
(2)若点在线段上，求
的最小值；
(3)若点在线段
上，作
平行交于点，
是
上一点，满足
．设
，记三棱锥
的体积为
．我们知道，函数
的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点
成中心对称图形的充要条件是函数
为奇函数．据此，判断函数
在定义域内是否存在
，使得函数在
上的图象是中心对称图形，若存在，求及对称中心；若不存在，说明理由．
中，，，，点是平面上的动点．
在线段上（不包括端点），设为异面直线与所成角，求的取值范围；(2)若点
在线段上，求的最小值；(3)若点
在线段上，作平行交于点，是上一点，满足．设，记三棱锥的体积为．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．据此，判断函数在定义域内是否存在，使得函数在上的图象是中心对称图形，若存在，求及对称中心；若不存在，说明理由．
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2024-08-04更新
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334次组卷
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2卷引用：湖南省常德市第一中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
7 . 如果数列
满足：
且
则称为n阶“归化”数列.
(1)若某3阶“归化”数列是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；
(2)若某11阶“归化”数列是等差数列，求该数列的通项公式；
(3)若为n阶“归化”数列，求证
满足：且 则称为n阶“归化”数列.(1)若某3阶“归化”数列
是等差数列，且单调递增，写出该数列的各项；(2)若某11阶“归化”数列
是等差数列，求该数列的通项公式；(3)若
为n阶“归化”数列，求证
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2024-07-20更新
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390次组卷
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4卷引用：湖南省邵阳市第二中学2024-2025学年高三上学期8月月考数学试题
名校
8 . 已知平面四边形
，
，
，
，现将
沿
边折起，使得平面
平面
，此时
，点为线段
的中点．
平面
；
(2)若为
的中点，求
与平面
所成角的正弦值；
(3)在（2）的条件下，求二面角
的平面角的余弦值．
，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点．
平面；(2)若
为的中点，求与平面所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，求二面角
的平面角的余弦值．
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2024-07-17更新
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409次组卷
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3卷引用：湖南省雅礼教育集团2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷
解题方法
9 . 已知椭圆
的离心率为
，左､右顶点分别为
，
，且
过点
.
(1)求的方程；
(2)若，为上与点，均不重合的两个动点，且直线
，
的斜率分别为
和
.
（i）若
（
为坐标原点），判断直线和的位置关系；
（ii）证明：直线经过
轴上的定点.
的离心率为，左､右顶点分别为，，且过点.(1)求
的方程；(2)若
，为上与点，均不重合的两个动点，且直线，的斜率分别为和.（i）若
（为坐标原点），判断直线和的位置关系；（ii）证明：直线
经过轴上的定点.
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10 . 已知函数
.
(1)当
时，讨论函数的单调性；
(2)若
，
（i）证明：函数有三个不同的极值点；
（ii）记函数三个极值点分别为
，且
，证明：
.
.(1)当
时，讨论函数的单调性；(2)若
，（i）证明：函数
有三个不同的极值点；（ii）记函数
三个极值点分别为，且，证明：.
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