1 . 设各项均为正数的数列的前n项和为
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若（，，为常数），且，求数列的通项公式；
（3）若（，，、为常数），且，求数列的通项公式；
（4）若（，，、、c为常数），且，求证为等差数列．

2 . 已知函数的定义域为D，若存在实数a，b，对任意的，有，且使得均成立，则函数的图像关于点对称，反之亦然，我们把这样的函数叫做“函数．
(1)已知“函数”的图像关于点对称，且时，；求时，函数的解析式；
(2)已知函数，问是否为“函数”？请说明理由；
(3)对于不同的“函数”与，若、有且仅有一个对称中心，分别记为和，
①求证：当时，仍为“函数”；
②问：当时，是否仍一定为“函数”？若是，请说明理由；若不一定是，请举出具体的反例．

3 . 已知是两个整数集合，且对于任意整数，存在唯一的使得.记.证明：对任意的，存在，使得.

4 . 如果无穷数列是等差数列，且满足：①、，，使得；②，、，使得，则称数列是“数列”.
(1)下列无穷等差数列中，是“数列”的为___________；（直接写出结论）
、、、
、、、
、、、
、、、
(2)证明：若数列是“数列”，则且公差；
(3)若数列是“数列”且其公差为常数，求的所有通项公式.

5 . 已知函数，
（1）试计算…，据此你能发现什么结论？证明你的结论；
（2）讨论函数的单调性；
（3）设，求函数在上的零点个数（提示；可以借助（1）的结论．

6 . 数列满足：，．
（1）当时，求的通项公式
（2）记为正有理数集（）的一个子集，，其中和是互素的正整数．现定义性质为：，，均有为定值．是否存在满足以下两个要求：1°，满足性质；2°，不满足性质．证明你的结论．

7 . 已知正的边长为，内切圆圆心为，点满足.
（1）求证：为定值；
（2）把三个实数，，的最小值记为，b，c}，若，求的取值范围；
（3）若，，求当取最大值时，的值.

8 . 若，且直线与曲线相切.
(1)求的值；
(2)证明：当，不等式对于恒成立.

9 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，此公式有广泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：当时，，.
(1)证明：当时，；
(2)设，若区间满足当定义域为时，值域也为，则称为的“和谐区间”.
（i）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由；
（ii）时，是否存在“和谐区间”？若存在，求出的所有“和谐区间”，若不存在，请说明理由.

10 . 设为n个正整数，并且满足，令，并记.求证：对于任意，必存在正整数u、v，使得，等于A或.