1 . 对正整数n及实数，定义，其中表示不超过实数x的最大整数，．若整数满足，求的值．

2 . 设a，b为不超过12的正整数，满足：存在常数C，使得对任意正整数n成立．求所有满足条件的有序数对．

3 . 设数列的通项公式为．证明：存在无穷多个正整数m，使得是完全平方数．

4 . 已知.且.
（1）求证：；
（2）设为整数，且恒成立，求的最小值.

5 . 已知椭圆C.（）与抛物线（）共焦点，以椭圆的上下顶点M、N和左右焦点F₁、F₂所围成的四边形MF₁NF₂的面积为8，经过F₂的直线交抛物线于A、B，交椭圆于C、D，且满足.
（1）求出椭圆和抛物线的标准方程;
（2）若点D在第三象限，且点A在点B上方，点C在点D上方，当△BF₁D面积取得最大值S时，求的值.

6 . 如图，已知抛物线，直线交抛物线于，两点，是抛物线外一点，连接，分别交抛物线于点，，且.

（1）若，求点的轨迹方程；
（2）若，求面积的最小值.

7 . 对正整数，记，.
（1）在集合中，任意取出一个子集，计算它的各元素之和.求所有子集的元素之和.
（2）当时，对集合及每一个非空子集定义唯一“交替和”如下:把子集中的数按递减顺序排列，然后从最大数开始，交替地加减相继各数，如的“交替和”是，集合的“交替和”是10－7=3，集合的“交替和”是5等等.试求的所有的“交替和”的总和.
（3）若的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”．求的最大值，使能分成两个不相交的稀疏集的并．

8 . 已知函数，其中．
（1）若，求的值；
（2）若，求的最大值；
（3）若，求证：．

9 . 已知.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.

10 . 已知函数.
（1）若是曲线的切线，求a的值；
（2）若有两不同的零点，求b的取值范围；
（3）若，且恒成立，求a的取值范围.