1 . 设是次实系数多项式，其中．证明：若的个根都是实数，则的个根也都是实数．

2 . 在中，是外一动点，满足，设，则下列结论正确的有（       ）

A．

B．设四边形的面积为，则

C．若，则的最大值为8

D．若，则的长度为

3 . 在中，是中点，是射线上的一点.

(1)如图1，连接并延长交于点，求的值；
(2)如图2，交于点，且，求的值.

4 . 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且.
（1）下列说法正确的有__________.（将正确选项的序号填在横线上）
①若，则，
②，
③若，则，
④若，则.
（2）某数学兴趣小组为了增加此题的趣味性，将题目改成：若关于的方程有两个不相等的实数根，且，其中均为整数，则的最小值为__________.

5 . 俄国数学家切比雪夫（П.Л.Чебышев，1821-1894）是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数，的最大值称为函数与的“偏差”.
(1)若，，求函数与的“偏差”；
(2)若，，求实数，使得函数与的“偏差”取得最小值.

6 . 对于函数,,设区间是上的一个子集,对于区间上任意的,,,当时,如果总有,则称函数是区间上的函数.
(1)判断下列函数是否是定义域上的函数:①,②;
(2)已知定义域上的严格增函数也是定义域上的函数,试问:是否是定义域上的函数?若是,请给出证明;若不是,请说明理由;
(3)若函数为区间上的函数,证明:对于任意的,和任意的,总有.

7 . 已知数列，，下列说法正确的是（       ）

A．对任意的，存在，使数列是递增数列；

B．对任意的，存在，使数列不单调；

C．对任意的，存在，使数列具有周期性；

D．对任意的，当时，存在.

8 . 勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体ABCD的棱长为a，则（       ）

A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最大值为a

B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为

C．勒洛四面体的截面面积的最大值为

D．勒洛四面体的体积

9 . 已知函数（）有两个不同的极值点，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则曲线的切线斜率不小于

B．函数的单调递减区间为

C．实数a的取值范围为

D．若函数的所有极值之和小于，则实数a的取值范围为

10 . 已知函数，其中．求证：
(1)，且；
(2)，，.