名校
1 . 若数列
满足
，则称该数列为边界为1的数列.对于边界为1的有穷数列，从该数列中任意去掉两项
，同时添加
作为该数列的末项，可以得到一个项数为
项的新数列，称此过程为对数列实施一次“降维”.规定这种“降维”只能实施于边界为1的数列.如果数列经过若干次“降维”后成为只有一项的数列，即得到一个实数，则称该实数为数列的一个“坍缩数”.
(1)设数列的递推公式为
，我们知道：当
取不同的值时，可以得到不同的数列，若取某实数时，该数列是一个只有3项的有穷数列，求该数列的所有可能的“坍缩数”.
(2)试证明：对于任意一个边界为1的有穷数列，都可以对其持续进行“降维”，直至得到该数列的一个“坍缩数”.
(3)若数列的共有
项，其通项公式为
，求证：当为偶数时，数列的“坍缩数”一定为正；当为奇数时，数列的“坍缩数”一定为负.
满足，则称该数列为边界为1的数列.对于边界为1的有穷数列，从该数列中任意去掉两项，同时添加作为该数列的末项，可以得到一个项数为项的新数列，称此过程为对数列实施一次“降维”.规定这种“降维”只能实施于边界为1的数列.如果数列经过若干次“降维”后成为只有一项的数列，即得到一个实数，则称该实数为数列的一个“坍缩数”.(1)设数列
的递推公式为，我们知道：当取不同的值时，可以得到不同的数列，若取某实数时，该数列是一个只有3项的有穷数列，求该数列的所有可能的“坍缩数”.(2)试证明：对于任意一个边界为1的有穷数列
，都可以对其持续进行“降维”，直至得到该数列的一个“坍缩数”.(3)若数列
的共有项，其通项公式为，求证：当为偶数时，数列的“坍缩数”一定为正；当为奇数时，数列的“坍缩数”一定为负.
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解题方法
2 . 如果数列
的任意相邻三项
，
，
满足
，则称该数列为“凸数列”．
(1)已知是正项等比数列，
是等差数列，且
，
，
．记
．
①求数列
的前项和；
②判断数列是不是“凸数列”，并证明你的结论；
(2)设项正数数列
是“凸数列”，求证：
，
，
的任意相邻三项，，满足，则称该数列为“凸数列”．(1)已知
是正项等比数列，是等差数列，且，，．记．①求数列
的前项和；②判断数列
是不是“凸数列”，并证明你的结论；(2)设
项正数数列是“凸数列”，求证：，，
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名校
解题方法
3 . 定义：若椭圆
上的两个点
满足
，则称
为该椭圆的一个“共轭点对”，记作
．已知椭圆
的一个焦点坐标为
，且椭圆过点
．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：有两个点
满足“共轭点对”，并求出的坐标；
(3)设（2）中的两个点分别是
，设
为坐标原点，点
在椭圆上，且
，
顺时针排列且
，证明：四边形
的面积小于
．
上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作．已知椭圆的一个焦点坐标为，且椭圆过点．(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求证：有两个点
满足“共轭点对”，并求出的坐标；(3)设（2）中的两个点
分别是，设为坐标原点，点在椭圆上，且，顺时针排列且，证明：四边形的面积小于．
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198次组卷
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5卷引用：四川省达州市通川区2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题
四川省达州市通川区2024-2025学年高三上学期开学摸底联考数学试题四川省遂宁市蓬溪中学校2025届高三开学摸底联考数学试卷河南省名校联盟2025届高三上学期开学摸底联考数学试题（已下线）重难点突破07 圆锥曲线三角形面积与四边形面积题型归类（七大题型）（已下线）拔高点突破03 圆锥曲线背景下的新定义问题（八大题型）
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解题方法
4 . 在高等数学中，我们将
在
处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：
（其中
表示
的n次导数），以上公式我们称为函数在处的秦勒展开式．
(1)分别求
在
处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：
．（其中
为虚数单位）；
(3)当
时，求证：
．（参考数据
）
在处及其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：（其中表示的n次导数），以上公式我们称为函数在处的秦勒展开式．(1)分别求
在处的泰勒展开式；(2)若上述泰勒展开式中的x可以推广至复数域，试证明：
．（其中为虚数单位）；(3)当
时，求证：．（参考数据）
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名校
5 . 牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法.如图，
是函数
的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近的实数
，在横坐标为
的点处作的切线，则在处的切线与
轴交点的横坐标是
，同理在
处的切线与轴交点的横坐标是
，一直继续下去，得到数列
.令
.
时，用牛顿法求出方程
的近似解
；
(2)在（1）的条件下，当
时，写出
与
的关系式（无需证明），并求数列的通项公式；
(3)令
，已知
是两个正实数，且
，求证：
.
是函数的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近的实数，在横坐标为的点处作的切线，则在处的切线与轴交点的横坐标是，同理在处的切线与轴交点的横坐标是，一直继续下去，得到数列.令.
时，用牛顿法求出方程的近似解；(2)在（1）的条件下，当
时，写出与的关系式（无需证明），并求数列的通项公式；(3)令
，已知是两个正实数，且，求证：.
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6 . 如图1，在
中，
分别为
的中点.将
沿
折起到
的位置（
与不重合），连
，如图2.
平面
；
(2)若平面
与平面
交于过的直线
，求证
；
(3)线段
上是否存在点
，使得
平面
，若存在，指出点位置并证明；若不存在，说明理由.
中，分别为的中点.将沿折起到的位置（与不重合），连，如图2.
平面；(2)若平面
与平面交于过的直线，求证；(3)线段
上是否存在点，使得平面，若存在，指出点位置并证明；若不存在，说明理由.
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2024-07-13更新
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620次组卷
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3卷引用：6.2 空间几何中的平行与垂直
名校
7 . 如图，
且
，
，
且
，
且
，
平面
，
.
，求证：
；
(2)证明:
(3)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为
，若存在，求出P点的位置，若不存在，说明理由.
且，，且，且，平面，.
，求证：；(2)证明:
(3)在线段BE上是否存在一点P，使得直线DP与平面ABE所成的角的正弦值为
，若存在，求出P点的位置，若不存在，说明理由.
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2024-08-30更新
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1400次组卷
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3卷引用：江苏省如东高级中学2023-2024学年高三上学期期中模拟数学试题
江苏省如东高级中学2023-2024学年高三上学期期中模拟数学试题（已下线）重难点突破03 立体几何解答题常考模型归纳总结（九大题型）-2四川省成都市第七中学2024-2025学年高三上学期8月学科素养测试数学试题
名校
8 . 已知函数
.
(1)求证
；
(2)求方程
解的个数；
(3)设
，证明
.
.(1)求证
；(2)求方程
解的个数；(3)设
，证明.
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解题方法
9 . 已知定义在
上的函数
对任意实数
，恒有
，且当
时，
.
(1)求证为奇函数；
(2)试判断在上的单调性并证明；
(3)解关于的不等式
.
上的函数对任意实数，恒有，且当时，.(1)求证
为奇函数；(2)试判断
在上的单调性并证明；(3)解关于
的不等式.
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名校
10 . 已知 
(1)将
，
，，
按由小到大排列，并证明；
(2)令
求证: 在
内无零点.
(1)将
，，，按由小到大排列，并证明；(2)令
求证: 在内无零点.
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2024-08-20更新
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387次组卷
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3卷引用：内蒙古赤峰市2024届高三下学期4.20模拟考试理科数学试题
