1 . 已知动圆经过定点，且与圆：内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线，的斜率分别为，.
①求证：为定值；
②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.

2 . 已知函数（a为常数）.
(1)求函数的单调区间；
(2)若存在两个不相等的正数，满足，求证：.
(3)若有两个零点，，证明：.

3 . 已知椭圆：： 的离心率 ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为.，是椭圆的两个焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为E的左顶点，过点作两条互相垂直的直线分别与E交于，两点，证明：直线经过定点，并求这个定点的坐标．
(3)设是椭圆上一点，直线与椭圆交于另一点，点满足：轴且，求证：是定值.

4 . 已知函数.
(1)证明：；
(2)设，求证：对任意的，都有成立.

5 . 如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，，平面ABCD，，，F是BC的中点．
   
(1)求证：平面PAC：
(2)试在线段PD上确定一点G，使平面PAF，请指出点G在PD上的位置，并加以证明.

6 . 已知函数，．
(1)若函数在R上单调递减，求a的取值范围；
(2)已知，，，，求证：；
(3)证明：．

7 . 如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．

   

(1)求证：平面；
(2)上是否存在点F，使平面平面．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．

8 . 若函数满足：对任意的实数，，有恒成立，则称函数为 “增函数” ．
(1)求证：函数不是“增函数”；
(2)若函数是“增函数”，求实数的取值范围；
(3)设，若曲线在处的切线方程为，求的值，并证明函数是“增函数”．

10 . 如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形．平面平面，．

(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值；
(3)证明：在线段存在点D，使得，并求的值．