1 . 已知，，均为正实数，且.
（1）证明：；
（2）求证：.

2 . 已知数列的前项和为，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)求证：．

3 . 已知数列满足：，且，.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若，求的值.

5 . 已知函数．
(1)若在区间上有极值，求实数的取值范围；
(2)当时，求证：有两个零点，，且．

6 . 已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为；
(1)若，求；
(2)若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程；
(3)若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围．

7 . 已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，令，，求证：.

8 . 已知数列满足，．
(1)证明：数列是等比数列．
(2)设，对于任意的，恒成立，求的取值范围．

9 . 设是数列的前n项和，已知，
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)证明：当时，.

10 . 已知数列满足且．
(1)若为等差数列，求其前项和；
(2)若存在，使得对任意的，恒成立，证明是等差数列．